Deslizamiento y deslizamiento con reflexión: traslación, deslizamiento con reflexión, fajas

Hasta ahora, cada movimiento mantenía un punto fijo (la línea de simetría o el centro). Ahora añadimos dos movimientos que se desplazan.

• Una traslación desliza todos los puntos la misma distancia en la misma dirección. Se describe mediante un vector (una longitud y una dirección). Una traslación por un vector no nulo no tiene punto fijo: nada permanece en su lugar original. Deslizar una figura nunca la gira ni la voltea.
• Una reflexión deslizante es una reflexión seguida de un deslizamiento a lo largo de la línea de simetría. Las huellas de una persona caminando por la playa son la imagen estándar: la huella izquierda y la derecha son imágenes especulares entre sí, y cada una también se desplaza hacia adelante. Si reflejas la huella izquierda en la línea central y la deslizas hacia adelante un paso, cae sobre la siguiente huella derecha.

Una reflexión deslizante no es lo mismo que una traslación (la figura termina volteada), ni lo mismo que una reflexión simple (la figura se ha movido a lo largo de la línea). Al igual que una traslación, no tiene punto fijo.

Juntos, los cuatro movimientos se llaman las isometrías del plano: reflexión, rotación, traslación y reflexión deslizante. «Isometría» significa «misma medida»: se conservan las distancias y los ángulos. No hay otras isometrías del plano. Todo movimiento que conserve todas las distancias es uno de estos cuatro.

Frisos. Un patrón de friso es un patrón que se repite infinitamente en una dirección a lo largo de una franja, como un borde en una pared, una banda en una vasija o una fila de postes de una cerca. Los matemáticos han demostrado que, hasta el tipo de simetría, hay exactamente 7 grupos de friso, ni más ni menos. Cada uno es una combinación diferente de estos elementos: una traslación a lo largo de la franja, una línea de simetría horizontal (a lo largo de la franja), líneas de simetría verticales, medias vueltas y reflexiones deslizantes. Una forma práctica de distinguirlos es una fila del mismo motivo:

Los nombres «hop», «step», «jump», «sidle», «spinning hop», «spinning sidle» y «spinning jump» provienen de la forma juguetona del matemático John Conway de describir los pasos que daría un caminante o bailarín para copiar el patrón. No tienes que memorizarlos. Lo importante es que la lista es completa: toma cualquier patrón de borde, encuentra qué simetrías tiene y caerá en exactamente una de las 7 categorías.