Liuku ja heijastus: siirtokuvaus, aksiaalinen symmetria, ornamentit

Tähän asti jokainen liike piti yhden pisteen paikallaan (peilisuoran tai keskipisteen). Nyt lisäämme kaksi liikettä, jotka kuljettavat.

• Siirto siirtää jokaista pistettä saman etäisyyden samaan suuntaan. Se kuvataan vektorilla (pituus ja suunta). Nollasta poikkeavan vektorin avulla tehtävällä siirrolla ei ole kiintopistettä: mikään ei pysy siinä, missä se oli. Kuvion siirtäminen ei koskaan käännä tai peilaa sitä.
• Liukupeilaus tarkoittaa peilausta, jota seuraa siirto peilisuoraa pitkin. Rannalla kävelevän ihmisen jalanjäljet muodostavat tavallisen esimerkin: vasen jalanjälki ja oikea jalanjälki ovat toistensa peilikuvia, ja kumpikin on myös siirtynyt eteenpäin. Peilaa vasen jalanjälki keskilinjan suhteen ja siirrä sitä yhden askeleen verran eteenpäin, niin se osuu seuraavan oikean jalanjäljen kohdalle.

Liukupeilaus ei ole sama asia kuin siirto (kuvio päätyy peilikuvaksi), eikä sama kuin tavallinen peilaus (kuvio on siirtynyt linjaa pitkin). Siirron tavoin sillä ei ole kiintopistettä.

Yhdessä näitä neljää liikettä kutsutaan tason isometrioiksi: peilaus, kierto, siirto ja liukupeilaus. ”Isometria” tarkoittaa ”samaa mittaa”: etäisyydet ja kulmat säilyvät. Muita tason isometrioita ei ole. Jokainen liike, joka säilyttää kaikki etäisyydet, on yksi näistä neljästä.

Friisikuviot. Friisikuvio on kuvio, joka toistuu ikuisesti yhteen suuntaan kaistaa pitkin, kuten seinän reunus, potin koristevyö tai aitatolppien rivi. Matemaatikot ovat todistaneet, että symmetriatyypin perusteella friisiryhmiä on täsmälleen 7 – ei enempää eikä vähempää. Jokainen niistä on erilainen yhdistelmä näistä osista: siirto kaistaa pitkin, vaakasuora peilisuora (kaistan suuntainen), pystysuorat peilisuorat, puolikierrot ja liukupeilaukset. Kätevä tapa erottaa ne toisistaan on tarkastella saman kuvion muodostamaa riviä:

Nimet ”hyppely”, ”askel”, ”hyppy”, ”sivuttaisaskel”, ”pyörivä hyppely”, ”pyörivä sivuttaisaskel” ja ”pyörivä hyppy” ovat peräisin matemaatikko John Conwayn leikillisestä tavasta kuvata askelia, joita kävelijä tai tanssija ottaisi kopioidessaan kuviota. Sinun ei tarvitse opetella niitä ulkoa. Tärkeää on, että luettelo on täydellinen: ota mikä tahansa reunuskuvio, selvitä, mitä symmetrioita sillä on, ja se kuuluu täsmälleen yhteen seitsemästä ryhmästä.