밀고 미끄러지기: 평행이동, 미끄럼 반사, 프리즈

지금까지는 각 움직임이 한 점을 고정해 두었어(거울 직선 또는 중심). 이제 이동하는 두 가지 움직임을 더 살펴보자.

• 평행이동은 모든 점을 같은 거리만큼 같은 방향으로 미끄러뜨리는 움직임이야. 평행이동은 벡터(길이와 방향)로 나타내. 0이 아닌 벡터에 의한 평행이동에는 고정점이 없어. 어떤 점도 원래 있던 곳에 그대로 남지 않기 때문이야. 도형을 미끄러뜨려도 도형이 회전하거나 뒤집히지는 않아.
• 미끄럼 반사는 반사한 다음 거울 직선을 따라 미끄러뜨리는 움직임이야. 해변을 따라 걷는 사람의 발자국이 대표적인 예야. 왼쪽 발자국과 오른쪽 발자국은 서로의 거울상이면서, 각각 앞쪽으로 이동해 있어. 왼쪽 발자국을 중심선에 대해 반사한 다음 한 단계만큼 앞으로 미끄러뜨리면 다음 오른쪽 발자국에 놓여.

미끄럼 반사는 평행이동과 같지 않아(도형이 뒤집힌 상태가 되기 때문이야). 또한 단순한 반사와도 같지 않아(도형이 직선을 따라 이동했기 때문이야). 평행이동처럼 미끄럼 반사에도 고정점이 없어.

이 네 가지 움직임을 함께 평면의 등거리 변환이라고 해: 반사, 회전, 평행이동, 미끄럼 반사. “등거리 변환”은 “같은 측정값”이라는 뜻이야. 거리와 각도는 그대로 유지돼. 평면의 등거리 변환은 이 네 가지 외에는 없어. 모든 거리를 유지하는 움직임은 이 네 가지 중 하나야.

프리즈. 프리즈 패턴은 벽의 테두리, 가변저항기의 띠, 울타리 기둥의 줄처럼 띠를 따라 한 방향으로 영원히 반복되는 패턴이야. 수학자들은 대칭의 종류만 고려하면 7개의 프리즈 군이 정확히 존재한다는 것을 증명했어. 더 많지도, 더 적지도 않아. 각각은 다음 요소들이 서로 다르게 조합된 것이야: 띠를 따라 평행이동, 수평 대칭선(띠를 따라 이어지는 선), 수직 대칭선, 반회전, 미끄럼 반사. 같은 무늬가 한 줄로 반복되는 모습을 보면 서로 어떻게 다른지 쉽게 구분할 수 있어:

“홉”, “단계”, “점프”, “옆걸음”, “회전 홉”, “회전 옆걸음”, “회전 점프”라는 이름은 보행자나 무용수가 그 패턴을 따라 하기 위해 밟을 단계를 재미있게 표현한 수학자 존 콘웨이에게서 나왔어요. 이 이름들을 외울 필요는 없어요. 중요한 것은 목록이 완전하다는 점이에요. 어떤 경계 패턴이든 가져와서 어떤 대칭을 가지고 있는지 찾아보면, 정확히 7개의 상자 중 하나에 들어가요.