Deslizamento e reflexão: translação, reflexão de deslizamento, frisos.

Até agora, cada movimento mantinha um ponto fixo (o eixo de simetria ou o centro). Agora vamos adicionar dois movimentos que se deslocam.

• Uma translação desliza cada ponto pela mesma distância e na mesma direção. Ela é descrita por um vetor (um comprimento e uma direção). Uma translação por um vetor diferente de zero não tem ponto fixo: nada permanece onde estava. Deslizar uma forma nunca a gira nem a vira.
• Uma reflexão deslizante é uma reflexão seguida de um deslizamento ao longo do eixo de simetria. As pegadas de uma pessoa caminhando pela praia formam a imagem padrão: a pegada esquerda e a pegada direita são imagens especulares uma da outra, e cada uma também está deslocada para a frente. Reflita a pegada esquerda na linha central e deslize-a um passo para a frente: ela ficará sobre a próxima pegada direita.

Uma reflexão deslizante não é a mesma coisa que uma translação (a forma termina virada) nem que uma reflexão simples (a forma se deslocou ao longo da linha). Assim como uma translação, ela não tem ponto fixo.

Juntos, os quatro movimentos são chamados de isometrias do plano: reflexão, rotação, translação e reflexão deslizante. “Isometria” significa “mesma medida”: as distâncias e os ângulos são preservados. Não existem outras isometrias do plano. Todo movimento que preserva todas as distâncias é um desses quatro.

Frisos. Um padrão de friso é um padrão que se repete infinitamente em uma direção ao longo de uma faixa, como uma borda em uma parede, uma faixa em um pote ou uma fileira de postes de cerca. Os matemáticos provaram que, considerando apenas o tipo de simetria, existem exatamente 7 grupos de frisos, nem mais nem menos. Cada um é uma combinação diferente destes elementos: uma translação ao longo da faixa, uma linha de espelho horizontal (ao longo da faixa), linhas de espelho verticais, meias-voltas e reflexões deslizantes. Uma maneira prática de diferenciá-los é observar uma fileira com o mesmo motivo:

Os nomes “salto”, “degrau”, “pulo”, “andar de lado”, “salto giratório”, “andar de lado giratório” e “pulo giratório” vêm do jeito divertido como o matemático John Conway descrevia os passos que uma pessoa caminhando ou dançando daria para copiar o padrão. Você não precisa decorá-los. O importante é que a lista é completa: pegue qualquer padrão de borda, descubra quais simetrias ele tem, e ele se encaixará exatamente em uma das 7 categorias.