Schuiven en glijden: translatie, glijdspiegeling, friespatronen

Tot nu toe hield elke beweging één punt vast (de spiegelingslijn of het middelpunt). Nu voegen we twee bewegingen toe die verplaatsen.

• Een translatie schuift elk punt dezelfde afstand in dezelfde richting. Je beschrijft dit met een vector (een lengte en een richting). Een translatie met een vector die niet nul is, heeft geen vast punt: niets blijft op zijn plek. Als je een vorm verschuift, draait of spiegelt die niet.
• Een glijspiegeling is een spiegeling gevolgd door een verschuiving langs de spiegelingslijn. De voetafdrukken van iemand die langs een strand loopt, geven het standaardbeeld: de linkerafdruk en de rechterafdruk zijn elkaars spiegelbeeld en zijn allebei ook vooruit verschoven. Spiegel de linkerafdruk in de middellijn en schuif hem één stap vooruit: hij komt op de volgende rechterafdruk terecht.

Een glijspiegeling is niet hetzelfde als een translatie (de vorm eindigt gespiegeld) en ook niet hetzelfde als een gewone spiegeling (de vorm is langs de lijn verplaatst). Net als een translatie heeft een glijspiegeling geen vast punt.

Samen worden deze vier bewegingen de isometrieën van het vlak genoemd: spiegeling, rotatie, translatie en glijspiegeling. “Isometrie” betekent “dezelfde maat”: afstanden en hoeken blijven behouden. Er zijn geen andere isometrieën van het vlak. Elke beweging waarbij alle afstanden behouden blijven, is één van deze vier.

Friespatronen. Een friespatroon is een patroon dat zich voor altijd herhaalt in één richting langs een strook, zoals een rand op een muur, een band op een pot of een rij hekpalen. Wiskundigen hebben bewezen dat er, als je alleen kijkt naar het soort symmetrie, precies 7 friesgroepen zijn: niet meer en niet minder. Elke groep is een andere combinatie van deze onderdelen: een translatie langs de strook, een horizontale spiegelas (langs de strook), verticale spiegelassen, halve draaiingen en glijdende spiegelingen. Een handige manier om ze uit elkaar te houden is een rij van hetzelfde motief:

De namen “hop”, “stap”, “sprong”, “schuifel”, “draaiende hop”, “draaiende schuifel” en “draaiende sprong” komen van de speelse manier waarop wiskundige John Conway de stappen beschreef die een wandelaar of danser zou zetten om het patroon na te doen. Je hoeft ze niet uit je hoofd te leren. Het belangrijkste is dat de lijst compleet is: neem een willekeurig randpatroon, kijk welke symmetrieën het heeft en het valt precies in één van de 7 vakken.