चालों को मिलाना

एक सममिति-चाल करो और फिर दूसरी, तो तुम्हें तीसरी चाल मिलती है। यही मुख्य विचार है, जो चालों की सूची को एक सुंदर सिद्धांत में बदल देता है। इसका सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है एक के बाद एक किए गए दो परावर्तन।

• एक-दूसरे को काटने वाली दो दर्पण-रेखाएँ। किसी आकृति को पहले रेखा m₁ में परावर्तित करो, फिर मिले हुए परिणाम को रेखा m₂ में परावर्तित करो। यदि रेखाएँ एक बिंदु O पर मिलती हैं और उनके बीच का कोण α है, तो परिणाम `O` के चारों ओर `2α` का घूर्णन होता है। उदाहरण के लिए, एक-दूसरे से 30° पर रखे दर्पण 60° का घूर्णन देते हैं। समकोण (90°) पर रखे दर्पण 180° का घूर्णन, यानी आधा-घूर्णन, देते हैं।
• समानांतर दो दर्पण-रेखाएँ। यदि रेखाओं के बीच की दूरी d है, तो परिणाम रेखाओं के लंबवत `2d` का स्थानांतरण होता है। 3 cm की दूरी पर रखे दर्पण किसी आकृति को 6 cm तक ले जाते हैं।

कोण या दूरी को दो गुना क्यों किया जाता है? पहली बार परावर्तन करने पर आकृति पहले दर्पण के पीछे उतनी ही दूर पहुँचती है, जितनी वह उसके सामने थी। दूसरे दर्पण में परावर्तन करने पर वह उसी नियम के अनुसार फिर उतनी ही दूरी तक आगे बढ़ती है। दोनों छलाँगें मिलकर दर्पणों के बीच की दूरी का दो गुना बनाती हैं।

यदि तुम इसे संख्याओं की मदद से समझना चाहते हो, तो मूलबिंदु से होकर कोण ψ वाली रेखा में परावर्तन को आधात्री [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]] से दर्शाया जाता है। ऐसी दो आधात्रियों को गुणा करने पर कोण 2(ψ₂ − ψ₁) के लिए एक घूर्णन आधात्री मिलती है। Vector Lab समझाता है कि आधात्रियाँ आकृतियों पर कैसे काम करती हैं।

चालों का क्रम महत्वपूर्ण हो सकता है। एक समबाहु त्रिभुज लो और उसके हर कोने पर एक संख्या वाली स्थिति रखो: ऊपर 1, नीचे बाएँ 2 और नीचे दाएँ 3। मान लो r 120° का वह घूर्णन है, जो 1 पर मौजूद टाइल को 2 पर, 2 पर मौजूद टाइल को 3 पर और 3 पर मौजूद टाइल को 1 पर भेजता है। मान लो s स्थिति 1 से होकर जाने वाले ऊर्ध्वाधर अक्ष में परावर्तन है: यह स्थितियों 2 और 3 को आपस में बदलता है और 1 को वहीं रहने देता है।

• पहले `r`, फिर `s`: स्थिति 1 की टाइल 2 पर जाती है और फिर 3 पर।
• पहले `s`, फिर `r`: स्थिति 1 की टाइल पहले 1 पर ही रहती है और फिर 2 पर जाती है।

परिणाम अलग-अलग हैं, इसलिए r और फिर s करना, s और फिर r करने के समान नहीं है। चालों को अलग क्रम में करने से परिणाम बदल सकता है। (कुछ विशेष मामलों में इससे फर्क नहीं पड़ता: अलग-अलग बिंदुओं के चारों ओर किए गए दो आधे-घूर्णन, या एक ही बिंदु से होकर जाने वाली लंबवत रेखाओं में किए गए दो परावर्तन, दोनों क्रमों में एक ही परिणाम देते हैं। सामान्य रूप से, क्रम महत्वपूर्ण होता है।)

समूह का विचार। किसी आकृति की सममितियाँ एक व्यवस्थित प्रणाली बनाती हैं, जिसे समूह कहते हैं: (1) एक सममिति करने और फिर दूसरी करने पर फिर से एक सममिति मिलती है (समुच्चय संवृत होता है), (2) कुछ भी न करना एक सममिति है (यह सर्वसमिका है), और (3) हर सममिति को किसी दूसरी सममिति से उलटा जा सकता है (वह उसका प्रतिलोम है)। एक समबाहु त्रिभुज की ठीक 6 सममितियाँ होती हैं: 3 घूर्णन (0°, 120°, 240°) और 3 परावर्तन। एक वर्ग की 8 होती हैं। एक नियमित n-भुज की 2n होती हैं। ऐसे सवालों से जन्मा समूह सिद्धांत, सममिति का गणित है।