Geser dan luncur: translasi, refleksi geser, pola hias.

Sejauh ini, setiap gerakan membuat satu titik tetap (garis cermin atau pusat). Sekarang kita menambahkan dua gerakan yang berpindah.

• Translasi menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama ke arah yang sama. Translasi dijelaskan oleh vektor (panjang dan arah). Translasi dengan vektor tak nol tidak memiliki titik tetap: tidak ada yang tetap di tempatnya. Menggeser suatu bentuk tidak pernah memutarnya atau membaliknya.
• Refleksi geser adalah refleksi yang diikuti dengan pergeseran sepanjang garis cermin. Jejak kaki seseorang yang berjalan di pantai memberikan gambaran standar: jejak kaki kiri dan jejak kaki kanan merupakan bayangan cermin satu sama lain, dan masing-masing juga bergeser ke depan. Cerminkan jejak kaki kiri pada garis pusat, lalu geser ke depan sejauh satu langkah, maka jejak itu akan tepat berada di jejak kaki kanan berikutnya.

Refleksi geser tidak sama dengan translasi (bentuknya menjadi terbalik), dan tidak sama dengan refleksi biasa (bentuknya berpindah sepanjang garis). Seperti translasi, refleksi geser tidak memiliki titik tetap.

Keempat gerakan tersebut disebut isometri pada bidang: refleksi, rotasi, translasi, dan refleksi geser. “Isometri” berarti “ukuran yang sama”: jarak dan sudut tetap dipertahankan. Tidak ada isometri lain pada bidang. Setiap gerakan yang mempertahankan semua jarak merupakan salah satu dari keempat gerakan ini.

Frieze. Pola frieze adalah pola yang berulang selamanya ke satu arah sepanjang pita, seperti hiasan tepi di dinding, pita pada pot, atau deretan tiang pagar. Para matematikawan telah membuktikan bahwa, berdasarkan jenis simetrinya, ada tepat 7 kelompok frieze, tidak lebih dan tidak kurang. Masing-masing merupakan kombinasi berbeda dari unsur-unsur berikut: translasi sepanjang pita, garis cermin horizontal (sepanjang pita), garis cermin vertikal, rotasi setengah putaran, dan refleksi geser. Cara praktis untuk membedakannya adalah dengan melihat deretan motif yang sama:

Nama “hop”, “step”, “jump”, “sidle”, “spinning hop”, “spinning sidle”, dan “spinning jump” berasal dari cara bermain-main matematikawan John Conway dalam menggambarkan langkah yang akan diambil seorang pejalan kaki atau penari untuk meniru pola tersebut. Kamu tidak perlu menghafalnya. Yang penting, daftarnya lengkap: ambil pola tepi apa pun, cari tahu simetri yang dimilikinya, dan pola itu akan masuk tepat ke salah satu dari 7 kotak.