Scorrimento e riflessione con scorrimento: traslazione, riflessione con scorrimento, fregi

Finora ogni movimento lasciava fisso un punto (la retta speculare o il centro). Ora aggiungiamo due movimenti che si spostano.

• Una traslazione fa scorrere ogni punto della stessa distanza nella stessa direzione. È descritta da un vettore (una lunghezza e una direzione). Una traslazione mediante un vettore diverso da zero non ha punti fissi: nulla rimane dove si trovava. Far scorrere una forma non la fa mai ruotare né la capovolge.
• Una riflessione con scorrimento è una riflessione seguita da uno scorrimento lungo la retta speculare. Le impronte di una persona che cammina sulla spiaggia mostrano l'immagine classica: l'impronta sinistra e quella destra sono immagini speculari l'una dell'altra, e ciascuna è anche spostata in avanti. Rifletti l'impronta sinistra nella retta centrale e falla scorrere in avanti di un gradino: arriverà sulla successiva impronta destra.

Una riflessione con scorrimento non è la stessa cosa di una traslazione (la forma finisce capovolta), né è uguale a una semplice riflessione (la forma si è spostata lungo la retta). Come una traslazione, non ha punti fissi.

Insieme, i quattro movimenti sono chiamati le isometrie del piano: riflessione, rotazione, traslazione e riflessione con scorrimento. “Isometria” significa “stessa misura”: le distanze e gli angoli restano invariati. Non esistono altre isometrie del piano. Ogni movimento che conserva tutte le distanze è uno di questi quattro.

Fregi. Uno schema a fregio è uno schema che si ripete all'infinito in una direzione lungo una striscia, come il bordo di una parete, una fascia su un potenziometro o una fila di paletti di una staccionata. I matematici hanno dimostrato che, considerando il tipo di simmetria, esistono esattamente 7 gruppi di fregio, né più né meno. Ognuno è una combinazione diversa di questi elementi: una traslazione lungo la striscia, una retta orizzontale di simmetria (lungo la striscia), rette verticali di simmetria, rotazioni di 180° e riflessioni con scorrimento. Un modo pratico per distinguerli è osservare una fila dello stesso motivo:

I nomi “salto”, “passo”, “balzo”, “fiancheggiamento”, “salto rotante”, “fiancheggiamento rotante” e “balzo rotante” derivano dal modo scherzoso con cui il matematico John Conway descriveva i passi che farebbe un camminatore o un ballerino per copiare lo schema. Non devi memorizzarli. Ciò che conta è che l'elenco sia completo: prendi un qualunque schema per un bordo, trova quali simmetrie possiede e vedrai che rientra esattamente in una delle 7 categorie.