平移与滑移：平移、滑移反射、带状图案

到目前为止，每次变换都保持一个点不动（镜面线或中心）。现在我们要加入两种会移动的变换。

• 平移将每个点沿同一方向移动相同的距离。它由一个向量（长度和方向）描述。沿非零向量的平移没有不动点：没有任何东西留在原地。平移形状时，既不会旋转它，也不会翻转它。
• 滑移反射是先做反射，再沿镜面线方向滑动。一个人沿着海滩行走留下的脚印就是标准的例子：左脚和右脚脚印互为镜像，且每个脚印都向前移动了。将左脚脚印沿中心线反射，再向前滑动一步，就会落在下一个右脚脚印上。

滑移反射不等同于平移（形状最终被翻转了），也不等同于单纯的反射（形状沿直线移动了）。和平移一样，它也没有不动点。

这四种变换合称为平面的等距变换：反射、旋转、平移和滑移反射。“等距”意味着“度量相同”：距离和角度保持不变。平面没有其他等距变换。任何保持所有距离不变的变换都是这四种之一。

饰带。 饰带图案是在一个方向上沿条带无限重复的图案，就像墙上的边框、陶罐上的带状装饰或一排栅栏柱。数学家已经证明，就对称类型而言，恰好有7 种饰带群，不多也不少。每一种都是以下要素的不同组合：沿条带的平移、水平镜面线（沿条带方向）、垂直镜面线、半转和滑移反射。区分它们的一个简便方法是观察同一图案单元的一排：

“跳”、“步”、“跃”、“侧滑”、“旋转跳”、“旋转侧滑”和“旋转跃”这些名称源自数学家 John Conway 描述行走者或舞者如何复制图案的俏皮方式。你不需要死记硬背它们。重要的是这个列表是完整的：拿任何边框图案，找出它具有哪些对称性，它必然恰好落入这 7 个类别中的一个。