เลื่อนและเลื่อนสะท้อน: การเลื่อน การสะท้อนแบบเลื่อน ลวดลายแถบ

จนถึงตอนนี้ การเคลื่อนที่แต่ละครั้งยังคงมีจุดหนึ่งอยู่กับที่ (เส้นกระจกหรือจุดศูนย์กลาง) ตอนนี้เราจะเพิ่มการเคลื่อนที่อีกสองแบบที่ เคลื่อนที่ไป

• การเลื่อน จะเลื่อนทุกจุดไปด้วยระยะทางเท่ากันในทิศทางเดียวกัน การเลื่อนจะอธิบายด้วย เวกเตอร์ (ความยาวและทิศทาง) การเลื่อนด้วยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จะ ไม่มีจุดคงที่: ไม่มีสิ่งใดอยู่ที่เดิม การเลื่อนรูปจะไม่ทำให้รูปหมุนหรือพลิกกลับ
• การสะท้อนแบบเลื่อน คือการสะท้อนตามด้วยการเลื่อน ไปตามเส้นกระจก รอยเท้าของคนที่เดินบนชายหาดเป็นภาพตัวอย่างมาตรฐาน: รอยเท้าซ้ายและรอยเท้าขวาเป็นภาพจากกระจกของกันและกัน และแต่ละรอยก็ถูกเลื่อนไปข้างหน้าด้วย สะท้อนรอยเท้าซ้ายในเส้นกึ่งกลาง แล้วเลื่อนไปข้างหน้าหนึ่งขั้น รอยนั้นจะไปอยู่ตรงรอยเท้าขวาถัดไป

การสะท้อนแบบเลื่อน ไม่เหมือน การเลื่อน (เพราะรูปจะจบลงในสภาพพลิกกลับ) และไม่เหมือนการสะท้อนธรรมดา (เพราะรูปได้เคลื่อนไปตามเส้น) เช่นเดียวกับการเลื่อน การสะท้อนแบบเลื่อนจะไม่มีจุดคงที่

การเคลื่อนที่ทั้งสี่แบบนี้เรียกรวมกันว่า ไอโซเมทรี ของระนาบ ได้แก่ การสะท้อน การหมุน การเลื่อน และการสะท้อนแบบเลื่อน “ไอโซเมทรี” หมายถึง “การวัดเท่าเดิม”: ระยะทางและมุมยังคงเดิม ไม่มีไอโซเมทรีแบบอื่นของระนาบ การเคลื่อนที่ทุกแบบที่รักษาระยะทางทั้งหมดไว้จะต้องเป็นหนึ่งในสี่แบบนี้

ลายคาด รูปแบบ ลายคาด คือรูปแบบที่ทำซ้ำไปเรื่อย ๆ ใน ทิศทางเดียว ตามแนวแถบ เช่น ลวดลายขอบบนกำแพง แถบบนหม้อ หรือแถวเสารั้ว นักคณิตศาสตร์พิสูจน์แล้วว่า เมื่อพิจารณาตามชนิดของสมมาตร จะมี กลุ่มลายคาด 7 กลุ่ม พอดี ไม่มากหรือน้อยกว่านี้ แต่ละกลุ่มเป็นการผสมส่วนประกอบต่าง ๆ กัน ได้แก่ การเลื่อนตามแนวแถบ เส้นกระจกแนวระดับ (ตามแนวแถบ) เส้นกระจกแนวดิ่ง การหมุนครึ่งรอบ และการสะท้อนเลื่อน วิธีที่ช่วยแยกแต่ละแบบได้ง่ายคือดูแถวของลวดลายเดิม:

ชื่อ “กระโดดขาเดียว”, “ก้าว”, “กระโดด”, “เดินเฉียง”, “กระโดดขาเดียวหมุนตัว”, “เดินเฉียงหมุนตัว” และ “กระโดดหมุนตัว” มาจากวิธีอธิบายอย่างสนุกสนานของนักคณิตศาสตร์ John Conway ถึงก้าวที่คนเดินหรือนักเต้นจะใช้เพื่อเลียนแบบรูปแบบนั้น คุณไม่จำเป็นต้องจำชื่อเหล่านี้ สิ่งสำคัญคือรายการนี้ ครบถ้วน: นำรูปแบบขอบแถบใด ๆ มาดูว่ามีสมมาตรแบบใด แล้วรูปแบบนั้นจะอยู่ในกล่องใดกล่องหนึ่งจากทั้งหมด 7 กล่องพอดี