Glid och förskjutning: translation, glidreflektion, ornamentband.

Hittills har varje förflyttning hållit en punkt fast (spegellinjen eller centrum). Nu lägger vi till två förflyttningar som flyttar sig.

• En translation förskjuter varje punkt samma avstånd i samma riktning. Den beskrivs av en vektor (en längd och en riktning). En translation med en vektor som inte är noll har ingen fast punkt: inget stannar där det var. När en figur förskjuts vrids eller vänds den aldrig.
• En glidreflektion är en spegling följd av en förskjutning längs spegellinjen. Fotspåren efter en person som går längs en strand visar den vanliga bilden: det vänstra fotspåret och det högra fotspåret är spegelbilder av varandra, och båda har dessutom förskjutits framåt. Spegla det vänstra fotspåret i centrumlinjen och förskjut det framåt ett steg, så hamnar det på nästa högra fotspår.

En glidreflektion är inte samma sak som en translation (figuren blir vänd), och inte heller samma sak som en vanlig spegling (figuren har flyttats längs linjen). Precis som en translation har den ingen fast punkt.

Tillsammans kallas de fyra förflyttningarna för planets isometrier: spegling, rotation, translation och glidreflektion. ”Isometri” betyder ”samma mått”: avstånd och vinklar bevaras. Det finns inga andra isometrier i planet. Varje förflyttning som bevarar alla avstånd är en av dessa fyra.

Friser. Ett frismönster är ett mönster som upprepas för evigt i en riktning längs en remsa, som en bård på en vägg, ett band på en kruka eller en rad staketstolpar. Matematiker har bevisat att det, upp till typen av symmetri, finns exakt 7 frisgrupper, varken fler eller färre. Var och en är en annorlunda kombination av dessa delar: en translation längs remsan, en horisontell spegellinje (längs remsan), vertikala spegellinjer, halvvarv och glidreflektioner. Ett praktiskt sätt att skilja dem åt är en rad med samma motiv:

Namnen ”hop”, ”step”, ”jump”, ”sidle”, ”spinning hop”, ”spinning sidle” och ”spinning jump” kommer från matematikern John Conways lekfulla sätt att beskriva stegen som en vandrare eller dansare skulle ta för att kopiera mönstret. Du behöver inte memorera dem. Det viktiga är att listan är fullständig: ta vilket randmönster som helst, ta reda på vilka symmetrier det har, så hamnar det exakt i en av de 7 rutorna.