Verschiebungen kombinieren

Führe eine Symmetriebewegung und danach eine weitere aus, erhältst du eine dritte Bewegung. Das ist die zentrale Idee, die aus einer Liste von Bewegungen eine elegante Theorie macht. Das wichtigste Beispiel sind zwei Spiegelungen direkt nacheinander.

• Zwei sich schneidende Spiegelgeraden. Spiegle eine Figur an der Geraden m₁ und anschließend das Ergebnis an der Geraden m₂. Wenn sich die Geraden in einem Punkt O treffen und der Winkel zwischen ihnen α beträgt, ist das Ergebnis eine Drehung um `O` mit dem Winkel `2α`. Spiegel, die einen Winkel von 30° zueinander bilden, ergeben zum Beispiel eine Drehung um 60°. Spiegel im rechten Winkel (90°) ergeben eine Drehung um 180°, also eine halbe Drehung.
• Zwei parallele Spiegelgeraden. Wenn die Geraden den Abstand d voneinander haben, ist das Ergebnis eine Verschiebung um `2d` senkrecht zu den Geraden. Spiegel mit einem Abstand von 3 cm verschieben eine Figur um 6 cm.

Warum ist es der doppelte Winkel oder der doppelte Abstand? Nach der ersten Spiegelung ist die Figur hinter dem ersten Spiegel genauso weit entfernt, wie sie vorher davor war. Bei der Spiegelung am zweiten Spiegel springt sie nach derselben Regel noch einmal weiter. Die beiden Sprünge ergeben zusammen den doppelten Abstand zwischen den Spiegeln.

Wenn du das mit Zahlen ausrechnen möchtest, wird eine Spiegelung an einer Geraden durch den Ursprung mit dem Winkel ψ durch die Matrix [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]] dargestellt. Multipliziere zwei solche Matrizen, erhältst du eine Drehungsmatrix für den Winkel 2(ψ₂ − ψ₁). Das Vektor-Labor erklärt, wie Matrizen auf Figuren wirken.

Die Reihenfolge der Bewegungen kann wichtig sein. Nimm ein gleichseitiges Dreieck mit einer nummerierten Position an jeder Ecke: 1 oben, 2 unten links, 3 unten rechts. Sei r die Drehung um 120°, die die Kachel an Position 1 nach 2, die Kachel an Position 2 nach 3 und die Kachel an Position 3 nach 1 bewegt. Sei s die Spiegelung an der vertikalen Achse durch Position 1: Sie vertauscht die Positionen 2 und 3 und lässt 1 unverändert.

• `r` und dann `s`: Die Kachel an Position 1 kommt nach 2 und anschließend nach 3.
• `s` und dann `r`: Die Kachel an Position 1 bleibt an Position 1 und kommt anschließend nach 2.

Die Ergebnisse sind verschieden. Deshalb ist r und dann s nicht dieselbe Bewegung wie s und dann r. Wenn du Bewegungen in einer anderen Reihenfolge ausführst, kann sich das Ergebnis ändern. (Es gibt Sonderfälle, in denen die Reihenfolge keine Rolle spielt: Zwei halbe Drehungen um verschiedene Punkte oder zwei Spiegelungen an senkrechten Geraden durch denselben Punkt ergeben in beiden Reihenfolgen dasselbe Ergebnis. Im Allgemeinen ist die Reihenfolge wichtig.)

Die Idee einer Gruppe. Die Symmetrien einer Form bilden ein ordentliches System, das Gruppe genannt wird: (1) Wenn man zuerst eine Symmetrie und dann eine andere ausführt, ist das Ergebnis wieder eine Symmetrie (die Menge ist abgeschlossen), (2) nichts zu tun ist eine Symmetrie (die Identität), und (3) jede Symmetrie kann durch eine andere Symmetrie rückgängig gemacht werden (ihre Inverse). Ein gleichseitiges Dreieck hat genau 6 Symmetrien: 3 Drehungen (0°, 120°, 240°) und 3 Spiegelungen. Ein Quadrat hat 8. Ein regelmäßiges n-Eck hat 2n. Die Gruppentheorie, die aus Fragen wie diesen entstand, ist die Mathematik der Symmetrie.