Mouvements qui ne commutent pas : pourquoi l’ordre compte

Mets une chaussette, puis une chaussure. Essaie maintenant dans l’autre sens : chaussure, puis chaussette. Le résultat est différent. Les mouvements du cube fonctionnent de la même manière. Tourne R, puis U, et tu obtiens un cube ; tourne U, puis R, et tu en obtiens un autre.

Les mathématiciens disent que deux mouvements commutent si les faire dans l’un ou l’autre ordre donne le même résultat. R et U ne commutent pas, car ils déplacent certaines des mêmes pièces : le coin et l’arête où se rencontrent les faces droite et supérieure. Les faces opposées, comme R et L, ne partagent aucune pièce, donc elles commutent : R L et L R donnent le même cube.

Voici une deuxième idée. Prends n’importe quelle suite de mouvements et répète-la encore et encore. Tôt ou tard, le cube revient à sa position de départ. Le nombre de répétitions nécessaires s’appelle l’ordre de la suite.

• R U R' U' est d’ordre 6 : répète-la six fois et le cube revient à sa position de départ.
• R U est d’ordre 105 : tu devrais répéter ces deux mouvements 105 fois.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 est d’ordre 2. Une fois crée un motif en damier sur chaque face, et une deuxième fois l’annule.

Pourquoi le cube doit-il revenir à sa position de départ ? Il n’existe qu’un nombre fini de positions et chaque mouvement peut être annulé. Une suite répétée n’a donc nulle part d’autre où aller qu’en boucle, en repassant par le départ.

Et pour annuler une suite ? Tu pourrais dire : « fais-la simplement à l’envers ». C’est à moitié vrai. Pour annuler A B C, tu dois inverser l’ordre et inverser chaque mouvement : il faut faire C' B' A'. C’est comme enlever la chaussette et la chaussure : commence par enlever la chaussure, puis enlève la chaussette.