可換でない操作：順序が重要な理由

靴下をはいてから、靴をはきます。では、反対の順番でやってみましょう。靴をはいてから、靴下をはきます。結果は違います。立方体の動きも同じです。Rを回してからUを回すと、ある立方体になります。Uを回してからRを回すと、別の立方体になります。

数学では、どちらの順番で行っても同じ結果になる2つの動きは、可換するといいます。RとUは可換しません。なぜなら、右面と上面が交わるところにあるコーナーとエッジという、同じピースの一部を動かすからです。RとLのような向かい合う面は、ピースをまったく共有していません。そのため、こちらは可換します。R LとL Rは同じ立方体になります。

もう1つの考え方があります。どんな動きの並びでも、何度も何度もくり返してみましょう。やがて、立方体は最初の状態に戻ります。戻るまでに必要なくり返しの回数を、その並びの位数といいます。

• R U R' U'の位数は6です。6回くり返すと、立方体は最初の状態に戻ります。
• R Uの位数は105です。この2つの動きだけを105回くり返す必要があります。
• R2 L2 U2 D2 F2 B2の位数は2です。1回行うと、すべての面にチェッカーボードのパターンができます。2回目で元に戻ります。

なぜ立方体は戻ってくるのでしょうか？立方体の位置は有限個しかなく、どの動きも元に戻せるからです。そのため、同じ並びをくり返すと、最初の位置を含むループを回るしかありません。

動きの並びを元に戻す場合はどうでしょう？「ただ逆向きにやればいい」と思うかもしれません。半分は正解です。A B Cを元に戻すには、順番を逆にし、さらに各動きを反転する必要があります。元に戻す動きはC' B' A'です。靴下と靴を脱ぐときと同じです。まず靴を脱ぎ、それから靴下を脱ぎます。