Zetten die niet commuteren: waarom de volgorde belangrijk is

Trek een sok aan en daarna een schoen. Probeer het nu andersom: eerst de schoen en daarna de sok. Het resultaat is anders. Met zetten op een kubus werkt het hetzelfde. Draai R en daarna U en je krijgt de ene kubus; draai U en daarna R en je krijgt een andere.

Wiskundigen zeggen dat twee zetten commuteren als je in beide volgordes hetzelfde resultaat krijgt. R en U commuteren niet, omdat ze sommige van dezelfde stukjes verplaatsen: het hoekstukje en randstukje waar de rechter- en bovenkant elkaar raken. Tegengestelde vlakken zoals R en L hebben helemaal geen stukjes gemeen, dus die commuteren wel: R L en L R geven dezelfde kubus.

Hier is nog een idee. Neem een willekeurige reeks zetten en herhaal die steeds opnieuw. Vroeg of laat komt de kubus terug op de plek waar hij begon. Het aantal herhalingen dat daarvoor nodig is, heet de orde van de reeks.

• R U R' U' heeft orde 6: herhaal de reeks zes keer en de kubus is weer terug waar hij begon.
• R U heeft orde 105: je zou alleen die twee zetten 105 keer moeten herhalen.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 heeft orde 2. Eén keer zorgt voor een dambordpatroon op elk vlak, en de tweede keer maakt dit weer ongedaan.

Waarom komt de kubus weer terug? Er zijn maar eindig veel posities en elke zet kan ongedaan worden gemaakt. Daarom kan een herhaalde reeks nergens anders heen dan in een lus die ook het begin bevat.

Hoe maak je een reeks ongedaan? Je zou kunnen zeggen: “doe hem gewoon achterstevoren”. Dat is maar half goed. Om A B C ongedaan te maken, moet je de volgorde omdraaien en elke zet inverteren: de omgekeerde reeks is C' B' A'. Net als bij het uittrekken van de sok en de schoen: trek eerst de schoen uit en daarna de sok.