교환되지 않는 움직임: 순서가 중요한 이유

양말을 신고 신발을 신어 봐. 이제 반대로 해 보자. 신발을 신고, 그다음 양말을 신는 거야. 결과가 다르지? 정육면체의 움직임도 똑같아. R을 한 다음 U를 돌리면 정육면체가 한 가지 모양이 되고, U를 한 다음 R을 돌리면 다른 모양이 돼.

수학자들은 두 움직임을 어느 순서로 해도 같은 결과가 나올 때 두 움직임이 교환된다고 말해. R과 U는 같은 조각 일부를 움직이기 때문에 교환되지 않아. 바로 오른쪽 면과 위쪽 면이 만나는 곳의 코너 조각과 변 조각이야. R과 L처럼 서로 반대편인 면은 조각을 전혀 공유하지 않아서 교환돼: R L과 L R은 같은 정육면체를 만들어.

여기 두 번째 아이디어가 있어. 어떤 움직임의 순서든 계속해서 반복해 봐. 언젠가는 정육면체가 처음 위치로 돌아와. 필요한 반복 횟수를 그 순서의 위수라고 해.

• R U R' U'의 위수는 6이야. 여섯 번 반복하면 정육면체가 처음 상태로 돌아와.
• R U의 위수는 105야. 이 두 움직임만 105번 반복해야 해.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2의 위수는 2야. 한 번 하면 모든 면에 바둑판 패턴이 생기고, 두 번째로 하면 원래대로 돌아와.

정육면체는 왜 다시 돌아올까? 가능한 위치의 수가 유한하고, 모든 움직임은 되돌릴 수 있어. 그래서 반복되는 순서는 시작점이 포함된 고리 안에서 계속 돌 수밖에 없어.

순서를 되돌리는 것은 어떨까? “그냥 거꾸로 하면 돼”라고 생각할 수도 있어. 절반은 맞아. A B C를 되돌리려면 순서를 거꾸로 하고 각 움직임도 반전해야 해. 되돌리는 순서는 C' B' A'야. 양말과 신발을 벗는 것과 같아. 먼저 신발을 벗고, 그다음 양말을 벗는 거지.