Toiminnot, joilla ei ole kommutatiivisuutta: miksi järjestyksellä on väliä

Laita sukka jalkaan ja sitten kenkä. Kokeile nyt toisinpäin: ensin kenkä ja sitten sukka. Lopputulos on erilainen. Kuution siirrot toimivat samalla tavalla. Tee R ja sitten U, niin saat yhden kuution; tee U ja sitten R, niin saat erilaisen kuution.

Matemaatikot sanovat, että kaksi siirtoa kommutoi, jos niiden tekeminen kummassa tahansa järjestyksessä antaa saman lopputuloksen. R ja U eivät kommutoi, koska ne siirtävät joitakin samoja paloja: kulmapalaa ja särmäpalaa, joissa oikea ja ylätahko kohtaavat. Vastakkaisilla tahkoilla, kuten R ja L, ei ole lainkaan yhteisiä paloja, joten ne kommutoi: R L ja L R antavat saman kuution.

Tässä on toinen ajatus. Ota mikä tahansa siirtosarja ja toista se yhä uudelleen. Ennemmin tai myöhemmin kuutio palaa lähtöasentoon. Toistojen määrää kutsutaan siirtosarjan kertaluvuksi.

• R U R' U' -siirtosarjan kertaluku on 6: kun toistat sen kuusi kertaa, kuutio on taas lähtöasennossa.
• R U -siirtosarjan kertaluku on 105: joutuisit toistamaan vain nämä kaksi siirtoa 105 kertaa.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 -siirtosarjan kertaluku on 2. Yksi kierros tekee jokaiselle tahkolle shakkilautakuvion, ja toinen kierros kumoaa sen.

Miksi kuution täytyy palata takaisin? Mahdollisia asentoja on vain äärellinen määrä, ja jokaisen siirron voi kumota, joten toistetulla siirtosarjalla ei ole muuta paikkaa minne mennä kuin silmukka, joka sisältää lähtöasennon.

Entä siirtosarjan kumoaminen? Voisit sanoa: ”tee se vain takaperin”. Se on puoli oikein. Kumotaksesi A B C -siirtosarjan sinun täytyy kääntää järjestys ja invertoida jokainen siirto: kumoava siirtosarja on C' B' A'. Se on kuin sukan ja kengän riisuminen: ensin riisut kengän ja sitten sukan.