Trekk som ikke kommuterer: hvorfor rekkefølgen betyr noe

Ta på en sokk, og deretter en sko. Prøv så motsatt: sko, og deretter sokk. Resultatene blir forskjellige. Bevegelser på en kube fungerer på samme måte. Vri R og deretter U, så får du én kube; vri U og deretter R, så får du en annen.

Matematikere sier at to trekk kommuterer hvis det gir samme resultat å gjøre dem i hvilken som helst rekkefølge. R og U kommuterer ikke, fordi de begge flytter noen av de samme brikkene: hjørnet og kanten der høyre og øvre sideflate møtes. Motstående sideflater, som R og L, har ingen brikker til felles, så de kommuterer: R L og L R gir samme kube.

Her er en annen idé. Ta en hvilken som helst sekvens med trekk og gjenta den igjen og igjen. Før eller siden kommer kuben tilbake til der den startet. Antallet gjentakelser som trengs, kalles ordenen til sekvensen.

• R U R' U' har orden 6: Gjenta den seks ganger, så er kuben tilbake der den startet.
• R U har orden 105: Du måtte ha gjentatt bare disse to trekkene 105 ganger.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 har orden 2. Én gjennomgang lager et sjakkbrettmønster på hver sideflate, og en gang til opphever det.

Hvorfor må kuben komme tilbake? Det finnes bare et endelig antall posisjoner, og hvert trekk kan gjøres om, så en gjentatt sekvens har ikke noe annet sted å gå enn rundt i en løkke som inkluderer starten.

Hva med å gjøre om en sekvens? Du tenker kanskje «bare gjør det baklengs». Det er bare delvis riktig. For å gjøre om A B C må du snu rekkefølgen og invertere hvert trekk: Det som gjør det om, er C' B' A'. Det er som å ta av sokken og skoen: først tar du av skoen, og deretter tar du av sokken.