Mosse che non commutano: perché l'ordine è importante

Indossa un calzino e poi una scarpa. Ora prova nell'altro ordine: prima la scarpa, poi il calzino. I risultati sono diversi. Le mosse del cubo funzionano allo stesso modo. Gira R e poi U e ottieni un cubo; gira U e poi R e ne ottieni uno diverso.

I matematici dicono che due mosse commutano se eseguirle in entrambi gli ordini dà lo stesso risultato. R e U non commutano, perché entrambe spostano alcuni degli stessi pezzi: il vertice e il bordo dove si incontrano le facce destra e superiore. Facce opposte come R e L non condividono alcun pezzo, quindi commutano: R L e L R danno lo stesso cubo.

Ecco una seconda idea. Prendi una sequenza qualsiasi di mosse e ripetila ancora e ancora. Prima o poi il cubo torna al punto di partenza. Il numero di ripetizioni necessarie si chiama ordine della sequenza.

• R U R' U' ha ordine 6: ripetila sei volte e il cubo torna com'era all'inizio.
• R U ha ordine 105: dovresti ripetere proprio queste due mosse 105 volte.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 ha ordine 2. Una volta crea uno schema a scacchiera su ogni faccia, e una seconda volta lo annulla.

Perché il cubo deve tornare indietro? Esistono solo un numero finito di posizioni e ogni mossa può essere annullata, quindi una sequenza ripetuta non può fare altro che girare in un ciclo che comprende il punto di partenza.

E per annullare una sequenza? Potresti dire «basta eseguirla al contrario». È corretto solo in parte. Per annullare A B C devi invertire l'ordine e invertire ogni mossa: la sequenza per annullarla è C' B' A'. È come togliersi il calzino e la scarpa: prima togli la scarpa, poi il calzino.