不可交换的转动：为什么顺序很重要

先穿袜子，再穿鞋。现在试试反过来的顺序：先穿鞋，再穿袜子。结果是不一样的。魔方的转动也是同样的道理。先转 R 再转 U 会得到一个魔方状态；先转 U 再转 R 则会得到另一个不同的状态。

数学家说，如果两个转动无论以哪种顺序执行都能得到相同的结果，那么这两个转动就是可交换的。R 和 U 不可交换，因为它们都移动了部分相同的块：即右面和顶面相交处的角块和棱块。像 R 和 L 这样的相对面完全不共享任何块，因此它们是可交换的：R L 和 L R 会得到相同的魔方状态。

这里有一个第二个概念。取任意一组转动序列，然后反复执行它。迟早魔方会回到起始状态。所需的重复次数被称为该序列的阶。

• R U R' U' 的阶是 6：重复六次后，魔方回到起始状态。
• R U 的阶是 105：你必须仅重复这两个转动 105 次。
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 的阶是 2。执行一次会在每个面上形成棋盘格图案，执行第二次则将其还原。

为什么魔方一定会回来？因为魔方的状态只有有限种，且每个转动都可以被撤销，所以重复执行的序列除了在一个包含起始状态的循环中打转外，别无他处可去。

那撤销一个序列呢？你可能会说“只需反向执行”。这只对了一半。要撤销 A B C，你必须反转顺序 并且 反转每个转动：撤销序列是 C' B' A'。就像脱袜子和脱鞋一样：先脱鞋，再脱袜子。