Gerakan yang tidak komutatif: mengapa urutan itu penting

Kenakan kaus kaki, lalu sepatu. Sekarang coba sebaliknya: sepatu, lalu kaus kaki. Hasilnya berbeda. Gerakan kubus bekerja dengan cara yang sama. Putar R lalu U dan kamu mendapatkan satu kubus; putar U lalu R dan kamu mendapatkan kubus yang berbeda.

Matematikawan mengatakan dua gerakan komutatif jika dilakukan dalam urutan apa pun hasilnya sama. R dan U tidak komutatif karena keduanya memindahkan beberapa keping yang sama: sudut dan sisi tempat sisi kanan dan sisi atas bertemu. Sisi yang berlawanan seperti R dan L sama sekali tidak memiliki keping yang sama, jadi keduanya komutatif: R L dan L R menghasilkan kubus yang sama.

Berikut ide kedua. Ambil urutan gerakan apa pun dan ulangi lagi dan lagi. Cepat atau lambat kubus akan kembali ke posisi awal. Jumlah pengulangan yang diperlukan disebut orde urutan tersebut.

• R U R' U' memiliki orde 6: ulangi enam kali dan kubus kembali seperti semula.
• R U memiliki orde 105: kamu harus mengulangi hanya dua gerakan itu sebanyak 105 kali.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 memiliki orde 2. Satu kali putaran membuat pola papan catur pada setiap sisi, dan putaran kedua menghapusnya.

Mengapa kubus harus kembali? Hanya ada sejumlah posisi yang terbatas, dan setiap gerakan bisa dibatalkan, jadi urutan yang diulang tidak punya tempat lain untuk pergi selain berputar dalam lingkaran yang mencakup posisi awal.

Bagaimana dengan membatalkan suatu urutan? Kamu mungkin berkata, “cukup lakukan secara terbalik”. Itu hanya setengah benar. Untuk membatalkan A B C, kamu harus membalik urutan dan membalik setiap gerakan: pembatalannya adalah C' B' A'. Seperti saat melepas kaus kaki dan sepatu: pertama lepaskan sepatu, lalu lepaskan kaus kaki.