Operacje, które nie są przemienne: dlaczego kolejność ma znaczenie.

Załóż skarpetkę, a potem but. Teraz spróbuj na odwrót: najpierw but, potem skarpetkę. Rezultaty będą różne. Ruchy sześcianu działają tak samo. Wykonaj R, a potem U, a otrzymasz jeden układ sześcianu; wykonaj U, a potem R, a otrzymasz inny.

Matematycy mówią, że dwa ruchy przemieniają się, jeśli wykonanie ich w dowolnej kolejności daje ten sam rezultat. R i U nie przemieniają się, ponieważ oba poruszają niektóre z tych samych elementów: narożnik i krawędź, w których spotykają się prawa i górna ściana. Przeciwległe ściany, takie jak R i L, nie mają ze sobą żadnych elementów, więc przemieniają się: R L i L R dają ten sam układ sześcianu.

Oto drugi pomysł. Weź dowolną sekwencję ruchów i powtarzaj ją raz za razem. Wcześniej czy później sześcian wróci do położenia początkowego. Liczba powtórzeń potrzebnych do tego nazywa się rzędem sekwencji.

• R U R' U' ma rząd 6: powtórz tę sekwencję sześć razy, a sześcian wróci do położenia początkowego.
• R U ma rząd 105: te dwa ruchy trzeba by powtórzyć aż 105 razy.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 ma rząd 2. Jedno wykonanie tworzy wzór szachownicy na każdej ścianie, a drugie go odwraca.

Dlaczego sześcian musi wrócić? Istnieje tylko skończenie wiele położeń, a każdy ruch można cofnąć, więc powtarzana sekwencja nie może pójść nigdzie indziej — musi krążyć w pętli, która obejmuje położenie początkowe.

A co z cofaniem sekwencji? Możesz powiedzieć: „po prostu wykonaj ją od tyłu”. To tylko częściowo prawda. Aby cofnąć A B C, musisz odwrócić kolejność i odwrócić każdy ruch: cofnięcie to C' B' A'. To tak jak przy zdejmowaniu skarpetki i buta: najpierw zdejmujesz but, a potem skarpetkę.