Ходы, которые не коммутируют: почему порядок важен

Надень носок, затем обувь. А теперь попробуй наоборот: сначала обувь, потом носок. Результаты будут разными. С ходами кубика происходит то же самое. Поверни R, а затем U — и получишь один кубик; поверни U, а затем R — и получишь другой.

Математики говорят, что два хода коммутируют, если результат не зависит от порядка их выполнения. R и U не коммутируют, потому что оба перемещают некоторые из одних и тех же элементов: угол и ребро в месте встречи правой и верхней граней. Противоположные грани, такие как R и L, вообще не имеют общих элементов, поэтому они коммутируют: R L и L R дают один и тот же кубик.

А вот ещё одна идея. Возьми любую последовательность ходов и повторяй её снова и снова. Рано или поздно кубик вернётся в исходное положение. Число повторений, которое для этого понадобится, называется порядком последовательности.

• R U R' U' имеет порядок 6: повтори её шесть раз — и кубик вернётся в исходное положение.
• R U имеет порядок 105: тебе придётся повторить всего эти два хода 105 раз.
• R2 L2 U2 D2 F2 B2 имеет порядок 2. Один проход создаёт шахматную закономерность на каждой грани, а второй её отменяет.

Почему кубик обязательно вернётся? Существует лишь конечное число положений, и каждый ход можно отменить, поэтому повторяющейся последовательности больше некуда двигаться — только по кругу, который включает начальное положение.

А как отменить последовательность? Можно сказать: «просто выполни её в обратном порядке». Это верно лишь наполовину. Чтобы отменить A B C, нужно изменить порядок на обратный и инвертировать каждый ход: получится C' B' A'. Как с носком и обувью: сначала сними обувь, затем носок.