การรวมการเคลื่อนที่

ทำการเคลื่อนที่แบบสมมาตรหนึ่งครั้ง แล้วทำอีกครั้งหนึ่ง ผลลัพธ์จะเป็นการเคลื่อนที่แบบที่สาม นี่คือแนวคิดสำคัญที่เปลี่ยนรายการการเคลื่อนที่ให้กลายเป็นทฤษฎีอันสวยงาม ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือ การสะท้อนสองครั้งต่อเนื่องกัน

• เส้นกระจกสองเส้นที่ตัดกัน สะท้อนรูปทรงในเส้น m₁ แล้วสะท้อนผลลัพธ์ในเส้น m₂ ถ้าเส้นทั้งสองตัดกันที่จุด O และมุมระหว่างเส้นทั้งสองคือ α ผลลัพธ์คือ การหมุนรอบ `O` เป็นมุม `2α` ตัวอย่างเช่น กระจกที่ทำมุม 30° ต่อกันจะทำให้เกิดการหมุน 60° กระจกที่ทำมุมฉากต่อกัน (90°) จะทำให้เกิดการหมุน 180° หรือการหมุนครึ่งรอบ
• เส้นกระจกสองเส้นที่ขนานกัน ถ้าเส้นทั้งสองอยู่ห่างกันเป็นระยะ d ผลลัพธ์คือ การเลื่อนเป็นระยะ `2d` ในทิศตั้งฉากกับเส้น กระจกที่อยู่ห่างกัน 3 cm จะทำให้รูปทรงเคลื่อนที่ 6 cm

ทำไมมุมหรือระยะทางจึงเป็นสองเท่า? เมื่อสะท้อนครั้งแรก รูปทรงจะไปอยู่หลังกระจกบานแรกไกลเท่ากับที่มันอยู่หน้ากระจก เมื่อสะท้อนในกระจกบานที่สอง รูปทรงจะกระโดดไปอีกครั้งตามกฎเดียวกัน การกระโดดทั้งสองครั้งรวมกันจึงเป็นสองเท่าของช่องว่างระหว่างกระจก

ถ้าต้องการคำนวณด้วยตัวเลข การสะท้อนในเส้นที่ผ่านจุดกำเนิดและทำมุม ψ กำหนดได้ด้วยเมทริกซ์ [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]] เมื่อนำเมทริกซ์สองอันมาคูณกัน จะได้เมทริกซ์การหมุนสำหรับมุม 2(ψ₂ − ψ₁) Vector Lab อธิบายว่าเมทริกซ์ทำงานกับรูปทรงอย่างไร

ลำดับของการเคลื่อนที่อาจมีผลได้ ลองพิจารณาสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีตำแหน่งระบุหมายเลขไว้ที่มุมแต่ละมุม: 1 อยู่ด้านบน 2 อยู่ล่างซ้าย และ 3 อยู่ล่างขวา ให้ r เป็นการหมุน 120° ที่ส่งแผ่นจากตำแหน่ง 1 ไปยัง 2 แผ่นจากตำแหน่ง 2 ไปยัง 3 และแผ่นจากตำแหน่ง 3 ไปยัง 1 ให้ s เป็นการสะท้อนในแกนแนวดิ่งที่ผ่านตำแหน่ง 1 ซึ่งสลับตำแหน่ง 2 กับ 3 และคงตำแหน่ง 1 ไว้

• `r` แล้ว `s`: แผ่นที่ตำแหน่ง 1 ไปที่ 2 แล้วจึงไปที่ 3
• `s` แล้ว `r`: แผ่นที่ตำแหน่ง 1 ยังคงอยู่ที่ 1 แล้วจึงไปที่ 2

ผลลัพธ์แตกต่างกัน ดังนั้น r แล้ว s จึงไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบเดียวกับ s แล้ว r การทำการเคลื่อนที่ในลำดับที่ต่างกันอาจเปลี่ยนผลลัพธ์ได้ (มีกรณีพิเศษที่ลำดับไม่สำคัญ: การหมุนครึ่งรอบสองครั้งรอบจุดต่างกัน หรือการสะท้อนสองครั้งในเส้นตั้งฉากที่ผ่านจุดเดียวกัน จะให้ผลลัพธ์เหมือนกันไม่ว่าจะทำตามลำดับใด โดยทั่วไปแล้ว ลำดับมีความสำคัญ)

แนวคิดเรื่องกรุป สมมาตรของรูปทรงรวมกันเป็นระบบที่เป็นระเบียบ ซึ่งเรียกว่า กรุป: (1) ทำสมมาตรอย่างหนึ่งแล้วทำอีกอย่างหนึ่ง ผลลัพธ์ก็ยังเป็นสมมาตรอีกแบบหนึ่ง (เซตนี้ ปิด), (2) การไม่ทำอะไรเลยก็เป็นสมมาตร (เรียกว่า เอกลักษณ์), และ (3) สมมาตรทุกแบบสามารถยกเลิกได้ด้วยสมมาตรอีกแบบหนึ่ง (เรียกว่า อินเวอร์ส) สามเหลี่ยมด้านเท่ามีสมมาตรทั้งหมด 6 แบบพอดี: การหมุน 3 แบบ (0°, 120°, 240°) และการสะท้อน 3 แบบ สี่เหลี่ยมจัตุรัสมี 8 แบบ รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า n เหลี่ยมมี 2n แบบ ทฤษฎีกรุปซึ่งเกิดขึ้นจากคำถามทำนองนี้ คือคณิตศาสตร์ของสมมาตร