Liikkeiden yhdistäminen

Kun teet yhden symmetriamuunnoksen ja sitten toisen, saat kolmannen muunnoksen. Tämä on keskeinen ajatus, joka muuttaa muunnoslistan elegantiksi teoriaksi. Tärkein esimerkki on kaksi peräkkäistä peilausta.

• Kaksi toisensa leikkaavaa peilisuoraa. Peilaa kuvio suorassa m₁ ja peilaa sitten tulos suorassa m₂. Jos suorat kohtaavat pisteessä O ja niiden välinen kulma on α, tuloksena on kierto pisteen `O` ympäri kulman `2α` verran. Esimerkiksi 30°:n kulmassa toisiinsa nähden olevat peilit saavat aikaan 60°:n kierron. Suorassa kulmassa (90°) olevat peilit saavat aikaan 180°:n kierron eli puolikierroksen.
• Kaksi yhdensuuntaista peilisuoraa. Jos suorat ovat etäisyydellä d toisistaan, tuloksena on siirto määrällä `2d` kohtisuoraan suoriin nähden. Jos peilien väli on 3 cm, kuvio siirtyy 6 cm.

Miksi kulma tai etäisyys on kaksinkertainen? Kun peilaat kerran, kuvio on ensimmäisen peilin takana yhtä kaukana kuin se oli sen edessä. Kun peilaat toisessa peilissä, kuvio siirtyy saman säännön mukaan uudelleen. Nämä kaksi siirtymää muodostavat yhdessä peilien välisen etäisyyden kaksinkertaisen matkan.

Jos haluat laskea tämän numeroiden avulla, origon kautta kulkevan kulmassa ψ olevan suoran peilaus esitetään matriisilla [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Kun kerrot kaksi tällaista matriisia keskenään, saat kiertomatriisin kulmalle 2(ψ₂ − ψ₁). Vector Lab selittää, miten matriisit vaikuttavat muotoihin.

Liikkeiden järjestyksellä voi olla väliä. Otetaan tasasivuinen kolmio, jonka jokaisessa kulmassa on numeroitu asema: 1 ylhäällä, 2 alhaalla vasemmalla ja 3 alhaalla oikealla. Olkoon r 120°:n kierto, joka siirtää asemassa 1 olevan laatan asemaan 2, asemassa 2 olevan laatan asemaan 3 ja asemassa 3 olevan laatan asemaan 1. Olkoon s aseman 1 kautta kulkevan pystysuoran akselin peilaus: se vaihtaa asemat 2 ja 3 keskenään ja jättää aseman 1 paikalleen.

• `r` ja sitten `s`: asemassa 1 oleva laatta siirtyy asemaan 2 ja sitten asemaan 3.
• `s` ja sitten `r`: asemassa 1 oleva laatta pysyy asemassa 1 ja siirtyy sitten asemaan 2.

Tulokset ovat erilaiset, joten r ja sitten s eivät ole sama liike kuin s ja sitten r. Liikkeiden tekeminen eri järjestyksessä voi muuttaa tulosta. (Joissakin erikoistapauksissa järjestyksellä ei ole väliä: kahdesta eri pisteen ympäri tehdystä puoliympyräkäännöksestä tai saman pisteen kautta kulkevien kohtisuorien suorien kahdesta peilauksesta saadaan sama tulos kummassakin järjestyksessä. Yleisesti järjestyksellä on väliä.)

Ryhmäajatus. Muodon symmetriat muodostavat selkeän järjestelmän, jota kutsutaan ryhmäksi: (1) yhden symmetrian tekeminen ja sitten toisen on jälleen symmetria (joukko on suljettu), (2) tekemättä jättäminen on symmetria (eli identiteetti) ja (3) jokainen symmetria voidaan kumota toisella symmetrialla (sen käänteisellä). Tasasivuisella kolmiolla on täsmälleen 6 symmetriaa: 3 kiertoa (0°, 120°, 240°) ja 3 peilausta. Neliöllä on 8. Säännöllisellä n-kulmiolla on 2n. Ryhmäteoria, joka syntyi tällaisten kysymysten pohjalta, on symmetrian matematiikkaa.