전체일까, 일부일까?

어떤 학교의 학생 1 200명 중 얼마가 걸어서 등교하는지 알고 싶다고 해 보자. 모두에게 물어볼 수도 있다. 아니면 그중 100명에게 물어보고, 그 답을 이용해 나머지를 추정할 수도 있다.

용어:

• 모집단: 알고 싶은 전체 집단(학생 1 200명 모두).
• 표본: 실제로 측정하는 모집단의 일부(물어본 100명).
• 모수: 모집단을 설명하는 수. 예를 들어 걸어서 등교하는 학생의 실제 비율이 있다. 보통은 알 수 없다. p로 쓴다.
• 통계량: 표본에서 계산한 수. 예를 들어 물어본 100명 중 걸어서 등교하는 학생의 비율이 있다. p̂("p-hat")로 쓴다.

통계의 전체 개념은 한 문장으로 정리할 수 있다. 측정하기 어려운 모수를 추정하기 위해 통계량을 사용한다.

때로는 모집단 전체를 측정할 수 있다. 이것을 전수조사라고 한다. 한 나라의 인구조사는 전수조사를 시도하는 예다. 하지만 보통 모두를 측정하는 일은 너무 느리거나, 비용이 많이 들거나, 불가능하다(모든 전구가 다 타버릴 때까지 시험할 수는 없다. 그러면 판매할 전구가 하나도 남지 않을 테니까).

표본은 하나의 추정값일 뿐이며, 표본이 달라지면 추정값도 달라진다. 정확히 60 %의 사람들이 아이스크림을 좋아하는 마을이 있고, 그곳에서 20명에게 무작위로 물어본다고 상상해 보자. 55 %가 나올 수도 있다. 다음에는 70 %가 나올 수도 있다. 또 다음에는 60 %가 나올 수도 있다. 어느 것도 실제 값은 아니지만, 어느 것도 "틀린" 것은 아니다. 표본마다 이렇게 달라지는 현상을 표본 변동성이라고 한다. 이 예시의 수치는 가르치기 위해 만들어 낸 것이다. 실제 측정값이 아니다.

추정값이 얼마나 좋은지를 결정하는 것은 두 가지다.

• 표본을 어떻게 골랐는가. 방법이 특정 사람들에게 치우치면 추정값도 그쪽으로 치우친다. 이것이 편향이며, 다음 월드에서 다룬다.
• 표본의 크기가 얼마나 큰가. 더 큰 무작위 표본은 변동이 더 작다. 월드 6의 레슨 3에서 그 정도를 수치로 나타낸다.

일상에서 가장 좋은 방법은 단순 무작위 표본이다. 모집단의 모든 구성원이 선택될 확률이 같으며, 모자에서 이름을 뽑는 것과 같다. 무작위 표본이 완벽하다고 보장되지는 않지만, 그 표본의 오차는 우리가 측정할 수 있는 종류의 오차다.

실제 사례: Palmer 데이터 세트의 펭귄 344마리입니다. 이들이 "모든 펭귄"일까요? 아니요. 이들은 세 종류의 펭귄(Adelie, Chinstrap, Gentoo)에서 얻은 표본으로, 한 연구 기지 근처의 섬에 살며 3년 동안 측정되었습니다. 연구자들은 모든 펭귄을 측정할 수 없었고, 이 데이터 세트도 지구상의 모든 펭귄을 대상으로 한 무작위 표본이라고 주장하지 않습니다.

따라서 이 조류에서 패턴을 발견했을 때는 그것이 무엇을 설명하는지 말해야 합니다. 바로 이 펭귄들입니다. 이 결과가 다른 곳의 펭귄들에게도 적용되는지는 Palmer Station 근처의 서식지가 다른 곳과 얼마나 비슷한지에 달려 있습니다. 이는 산술 계산이 아니라 표본 추출에 관한 문제입니다.