움직임 결합하기

대칭 변환을 한 번 하고 또 다른 대칭 변환을 하면 세 번째 변환을 얻습니다. 변환 목록을 우아한 이론으로 바꾸는 핵심 아이디어가 바로 이것입니다. 가장 중요한 예는 반사를 연속해서 두 번 하는 것입니다.

• 서로 교차하는 두 거울 직선. 도형을 직선 m₁에 반사한 다음, 그 결과를 직선 m₂에 반사합니다. 두 직선이 한 점 O에서 만나고 두 직선 사이의 각도가 α라면, 그 결과는 `O`를 중심으로 `2α`만큼 회전한 것과 같습니다. 예를 들어 거울이 서로 30°를 이루면 60° 회전이 됩니다. 거울이 직각(90°)을 이루면 180° 회전, 즉 반바퀴 회전이 됩니다.
• 서로 평행한 두 거울 직선. 두 직선 사이의 거리가 d라면, 그 결과는 직선에 수직인 방향으로 `2d`만큼 평행이동하는 것입니다. 3 cm 떨어진 거울은 도형을 6 cm 이동시킵니다.

왜 각도나 거리가 두 배가 될까요? 한 번 반사하면 도형은 첫 번째 거울 앞에 있던 거리만큼 거울 뒤로 이동합니다. 두 번째 거울에 반사하면 같은 규칙에 따라 다시 한 번 이동합니다. 이 두 번의 이동이 합쳐져 거울 사이의 간격의 두 배가 됩니다.

수치로 직접 계산해 보고 싶다면, 원점을 지나고 각도가 ψ인 직선에 대한 반사는 행렬 [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]로 나타낼 수 있습니다. 이 행렬 두 개를 곱하면 각도 2(ψ₂ − ψ₁)에 대한 회전 행렬을 얻습니다. Vector Lab에서는 행렬이 도형에 어떻게 작용하는지 설명합니다.

변환을 하는 순서가 중요할 수 있습니다. 각 꼭짓점에 번호가 붙은 정삼각형을 생각해 봅시다. 위쪽 꼭짓점에는 1, 왼쪽 아래에는 2, 오른쪽 아래에는 3을 붙입니다. r을 1의 타일을 2로, 2의 타일을 3으로, 3의 타일을 1로 보내는 120° 회전이라고 합시다. s를 위치 1을 지나는 수직축에 대한 반사라고 합시다. 이 반사는 위치 2와 3을 서로 바꾸고 1은 그대로 둡니다.

• `r`을 먼저 하고 `s`를 하기: 위치 1의 타일은 2로 갔다가 3으로 갑니다.
• `s`를 먼저 하고 `r`을 하기: 위치 1의 타일은 1에 그대로 있다가 2로 갑니다.

결과가 다르므로 r을 먼저 하고 s를 하는 것은 s를 먼저 하고 r을 하는 것과 같은 변환이 아닙니다. 변환을 다른 순서로 하면 결과가 달라질 수 있습니다. (순서가 중요하지 않은 특별한 경우도 있습니다. 서로 다른 점을 중심으로 한 두 번의 반바퀴 회전이나, 같은 점을 지나는 수직 직선에 대한 두 번의 반사는 어느 순서로 해도 같은 결과를 냅니다. 하지만 일반적으로는 순서가 중요합니다.)

군의 개념. 도형의 대칭 변환들은 군이라는 깔끔한 체계를 이룹니다. (1) 대칭 변환을 하나 하고 또 하나 해도 다시 대칭 변환이 됩니다(집합이 닫혀 있음). (2) 아무것도 하지 않는 것도 대칭 변환입니다(항등식). (3) 모든 대칭 변환은 다른 대칭 변환으로 되돌릴 수 있습니다(그 역변환). 정삼각형에는 정확히 6개의 대칭 변환이 있습니다. 회전 3개(0°, 120°, 240°)와 반사 3개입니다. 정사각형에는 8개가 있습니다. 정 n각형에는 2n개가 있습니다. 이런 질문에서 시작된 군론은 대칭을 연구하는 수학입니다.