Bewegingen combineren

Doe één symmetriebeweging en daarna nog één, en je krijgt een derde beweging. Dit is het belangrijkste idee waarmee een lijst van bewegingen verandert in een elegante theorie. Het belangrijkste voorbeeld is twee spiegelingen na elkaar.

• Twee spiegelassen die elkaar kruisen. Spiegel een vorm in lijn m₁ en spiegel het resultaat daarna in lijn m₂. Als de lijnen elkaar in een punt O ontmoeten en de hoek ertussen α is, is het resultaat een draaiing rond `O` over `2α`. Twee spiegels die een hoek van 30° met elkaar maken, geven bijvoorbeeld een draaiing van 60°. Spiegels die loodrecht op elkaar staan (90°), geven een draaiing van 180°, een halve draai.
• Twee parallelle spiegelassen. Als de lijnen een afstand d van elkaar liggen, is het resultaat een verschuiving van `2d` loodrecht op de lijnen. Spiegels die 3 cm uit elkaar staan, verplaatsen een vorm 6 cm.

Waarom twee keer de hoek of twee keer de afstand? Na één spiegeling is de vorm achter de eerste spiegel net zo ver verwijderd als hij ervoor stond. Spiegel je de vorm in de tweede spiegel, dan springt hij volgens dezelfde regel opnieuw. De twee sprongen tellen op tot twee keer de afstand tussen de spiegels.

Als je dit met getallen wilt uitwerken, wordt een spiegeling in een lijn door de oorsprong onder een hoek ψ gegeven door de matrix [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Vermenigvuldig je twee van zulke matrices, dan krijg je een rotatiematrix voor de hoek 2(ψ₂ − ψ₁). Het Vector Lab legt uit hoe matrices op vormen werken.

De volgorde van de bewegingen kan belangrijk zijn. Neem een gelijkzijdige driehoek met een genummerde positie bij elke hoek: 1 bovenaan, 2 linksonder en 3 rechtsonder. Laat r de draaiing over 120° zijn die de tegel op 1 naar 2 stuurt, de tegel op 2 naar 3 en de tegel op 3 naar 1. Laat s de spiegeling in de verticale as door positie 1 zijn: deze verwisselt de posities 2 en 3 en laat 1 ongemoeid.

• `r` en daarna `s`: de tegel op positie 1 gaat naar 2 en daarna naar 3.
• `s` en daarna `r`: de tegel op positie 1 blijft op 1 en gaat daarna naar 2.

De resultaten verschillen, dus r en daarna s is niet dezelfde beweging als s en daarna r. Bewegingen in een andere volgorde uitvoeren kan het resultaat veranderen. (Er zijn speciale gevallen waarin het niet uitmaakt: twee halve draaien rond verschillende punten, of twee spiegelingen in loodrechte lijnen door hetzelfde punt, geven in beide volgordes hetzelfde resultaat. In het algemeen is de volgorde belangrijk.)

Het idee van een groep. De symmetrieën van een vorm vormen een overzichtelijk systeem dat een groep wordt genoemd: (1) één symmetrie uitvoeren en daarna nog een leidt opnieuw tot een symmetrie (de verzameling is gesloten), (2) niets doen is een symmetrie (de identiteit), en (3) elke symmetrie kan door een andere symmetrie ongedaan worden gemaakt (zijn inverse). Een gelijkzijdige driehoek heeft precies 6 symmetrieën: 3 rotaties (0°, 120°, 240°) en 3 spiegelingen. Een vierkant heeft er 8. Een regelmatige n-hoek heeft er 2n. De groepentheorie, ontstaan uit vragen zoals deze, is de wiskunde van symmetrie.