组合变换

先做一个对称变换，再做一个，你会得到第三个变换。这是将变换列表转化为优雅理论的关键思想。最重要的例子是连续两次反射。

• 两条相交的镜面线。 先将图形关于直线 m₁ 反射，再将结果关于直线 m₂ 反射。如果两线交于点 O，且夹角为 α，结果就是绕 `O` 旋转 `2α`。例如，夹角为 30° 的镜面产生 60° 的旋转。垂直（90°）的镜面产生 180° 的旋转，即半转。
• 两条平行的镜面线。 如果两线相距 d，结果就是垂直于镜面线平移 `2d`。相距 3 cm 的镜面会使图形移动 6 cm。

为什么是两倍的角度或两倍的间距？第一次反射后，图形位于第一面镜后，距离与镜前相同。关于第二面镜反射时，它再次按相同规则跳跃。两次跳跃相加，等于镜面间距的两倍。

如果你想用数字推导，关于过原点且角度为 ψ 的直线的反射由矩阵 [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]] 给出。将两个这样的矩阵相乘，你会得到角度为 2(ψ₂ − ψ₁) 的旋转矩阵。向量实验室解释了矩阵如何作用于图形。

变换的顺序可能很重要。 取一个等边三角形，每个角有一个编号位置：顶部为 1，左下为 2，右下为 3。设 r 为 120° 旋转，将位置 1 的瓦片移至 2，位置 2 的移至 3，位置 3 的移至 1。设 s 为关于通过位置 1 的垂直轴的反射：它交换位置 2 和 3，位置 1 保持不变。

• 先 `r` 后 `s`： 位置 1 的瓦片移至 2，然后移至 3。
• 先 `s` 后 `r`： 位置 1 的瓦片保持在 1，然后移至 2。

结果不同，因此先 r 后 s 与先 s 后 r 不是同一个变换。以不同顺序执行变换可能会改变结果。（有些特殊情况顺序无关紧要：关于不同点的两次半转，或关于同一点上垂直直线的两次反射，无论顺序如何结果都相同。但通常来说，顺序很重要。）

群的概念。 一个图形的对称变换构成一个整洁的系统，称为群：(1) 先做一个对称变换，再做一个，结果仍然是对称变换（集合是封闭的）；(2) 什么都不做也是一种对称变换（单位元）；(3) 每个对称变换都可以被另一个对称变换抵消（其逆元）。等边三角形恰好有 6 个对称变换：3 个旋转（0°、120°、240°）和 3 个反射。正方形有 8 个。正 n 边形有 2n 个。群论正是从这类问题中诞生的，它是研究对称性的数学。