Combinar movimientos

Si haces un movimiento de simetría y luego otro, obtienes un tercer movimiento. Esta es la idea clave que convierte una lista de movimientos en una teoría elegante. El ejemplo más importante es dos reflexiones una tras otra.

• Dos líneas espejo que se cruzan. Refleja una figura en la línea m₁ y luego refleja el resultado en la línea m₂. Si las líneas se encuentran en un punto O y el ángulo entre ellas es α, el resultado es una rotación alrededor de `O` de `2α`. Por ejemplo, espejos a 30° entre sí producen una rotación de 60°. Espejos en ángulo recto (90°) producen una rotación de 180°, la media vuelta.
• Dos líneas espejo paralelas. Si las líneas están a una distancia d, el resultado es una traslación de `2d` perpendicular a las líneas. Espejos a 3 cm de distancia mueven una figura 6 cm.

¿Por qué el doble del ángulo o el doble de la distancia? Al reflejar una vez, la figura queda tan lejos detrás del primer espejo como estaba delante. Al reflejar en el segundo espejo, salta de nuevo según la misma regla. Los dos saltos suman el doble de la distancia entre los espejos.

Si quieres calcularlo con números, una reflexión en una línea que pasa por el origen con ángulo ψ está dada por la matriz [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Si multiplicas dos de ellas, obtienes una matriz de rotación para el ángulo 2(ψ₂ − ψ₁). El Laboratorio de Vectores explica cómo actúan las matrices sobre las figuras.

El orden de los movimientos puede importar. Toma un triángulo equilátero con una posición numerada en cada esquina: 1 arriba, 2 abajo a la izquierda, 3 abajo a la derecha. Sea r la rotación de 120° que envía la ficha en 1 a 2, la ficha en 2 a 3 y la ficha en 3 a 1. Sea s la reflexión en el eje vertical que pasa por la posición 1: intercambia las posiciones 2 y 3 y deja 1 en su sitio.

• `r` y luego `s`: la ficha en la posición 1 va a 2, y luego a 3.
• `s` y luego `r`: la ficha en la posición 1 se queda en 1, y luego va a 2.

Los resultados son diferentes, por lo que r y luego s no es el mismo movimiento que s y luego r. Hacer los movimientos en un orden diferente puede cambiar el resultado. (Hay casos especiales donde no importa: dos medias vueltas alrededor de puntos diferentes, o dos reflexiones en líneas perpendiculares que pasan por el mismo punto, dan el mismo resultado en cualquier orden. En general, el orden importa.)

La idea de un grupo. Las simetrías de una figura forman un sistema ordenado llamado grupo: (1) hacer una simetría y luego otra es otra simetría (el conjunto es cerrado), (2) no hacer nada es una simetría (la identidad) y (3) toda simetría puede deshacerse con otra simetría (su inversa). Un triángulo equilátero tiene exactamente 6 simetrías: 3 rotaciones (0°, 120°, 240°) y 3 reflexiones. Un cuadrado tiene 8. Un polígono regular de n lados tiene 2n. La teoría de grupos, nacida de preguntas como estas, es la matemática de la simetría.