Combinare i movimenti

Esegui un movimento di simmetria e poi un altro, e ottieni un terzo movimento. Questa è l’idea chiave che trasforma un elenco di movimenti in una teoria elegante. L’esempio più importante è eseguire due riflessioni una dopo l’altra.

• Due rette speculari che si intersecano. Rifletti una forma nella retta m₁, poi rifletti il risultato nella retta m₂. Se le rette si incontrano in un punto O e l’angolo tra loro è α, il risultato è una rotazione intorno a `O` di `2α`. Per esempio, rette speculari inclinate di 30° l’una rispetto all’altra producono una rotazione di 60°. Rette speculari perpendicolari (90°) producono una rotazione di 180°, cioè una rotazione di mezzo giro.
• Due rette speculari parallele. Se le rette sono distanti d, il risultato è una traslazione di `2d` perpendicolare alle rette. Due rette speculari distanti 3 cm spostano una forma di 6 cm.

Perché il doppio dell’angolo o della distanza? Dopo la prima riflessione, la forma si trova dietro la prima retta speculare alla stessa distanza a cui si trovava davanti. Riflettendola nella seconda retta speculare, si sposta di nuovo secondo la stessa regola. I due spostamenti si sommano e danno il doppio della distanza tra le rette speculari.

Se vuoi calcolarlo con i numeri, una riflessione in una retta passante per l’origine con angolo ψ è data dalla matrice [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Moltiplicandone due ottieni una matrice di rotazione per l’angolo 2(ψ₂ − ψ₁). Il Laboratorio dei vettori spiega come le matrici agiscono sulle forme.

L'ordine delle mosse può essere importante. Prendi un triangolo equilatero con una posizione numerata a ogni angolo: 1 in alto, 2 in basso a sinistra, 3 in basso a destra. Sia r la rotazione di 120° che manda la tessera nella posizione 1 alla posizione 2, quella nella posizione 2 alla posizione 3 e quella nella posizione 3 alla posizione 1. Sia s la riflessione rispetto all'asse verticale che passa per la posizione 1: scambia le posizioni 2 e 3 e lascia 1 al suo posto.

• Prima `r`, poi `s`: la tessera nella posizione 1 va nella posizione 2 e poi nella posizione 3.
• Prima `s`, poi `r`: la tessera nella posizione 1 resta nella posizione 1 e poi va nella posizione 2.

I risultati sono diversi, quindi prima r e poi s non è la stessa mossa di prima s e poi r. Eseguire le mosse in un ordine diverso può cambiare il risultato. (Ci sono casi speciali in cui l'ordine non fa differenza: due rotazioni di 180° attorno a punti diversi, oppure due riflessioni rispetto a rette perpendicolari che passano per lo stesso punto, danno lo stesso risultato in entrambi gli ordini. In generale, l'ordine è importante.)

L’idea di un gruppo. Le simmetrie di una forma formano un sistema ordinato chiamato gruppo: (1) fare una simmetria e poi un’altra dà di nuovo una simmetria (l’insieme è chiuso), (2) non fare nulla è una simmetria (l’identità) e (3) ogni simmetria può essere annullata da un’altra simmetria (la sua inversa). Un triangolo equilatero ha esattamente 6 simmetrie: 3 rotazioni (0°, 120°, 240°) e 3 riflessioni. Un quadrato ne ha 8. Un n-agono regolare ne ha 2n. La teoria dei gruppi, nata da domande come queste, è la matematica della simmetria.