Kinematyka ramienia robota: od kątów w stawach do położenia.

Stawy, ogniwa i punkt narzędzia.

Gdy rozłożysz ramię robota na części, znajdziesz dwa rodzaje elementów:

• Przeguby, które się obracają (a czasem przesuwają) i są napędzane silnikami.
• Ogniwa — sztywne segmenty między przegubami, których długość nigdy się nie zmienia.

Na wolnym końcu znajduje się punkt narzędzia — miejsce, w którym znajdowałby się chwytak, długopis lub głowica spawalnicza. Na proste pytanie odpowiada kinematyka prosta: gdzie znajduje się punkt narzędzia, jeśli znamy kąt każdego przegubu?

Odwrotne pytanie — znalezienie kątów przegubów, które pozwolą dotrzeć do wybranego punktu — nazywa się kinematyką odwrotną. Jest trudniejsze i wrócimy do niego pod koniec. Zacznij od kierunku prostego, bo to czysta geometria, która za każdym razem daje jedno rozwiązanie.

Płaski, dwuprzegubowy manipulator z wykorzystaniem podstawowych zasad trygonometrii.

Najpierw przyjrzyjmy się dwóm członom poruszającym się w jednej płaskiej płaszczyźnie. Nazwijmy długości członów L1 i L2. Kąt barkowy θ1 mierzy się od poziomu, a kąt łokciowy θ2 mierzy się względem pierwszego członu, a nie względem podłoża.

Położenie narzędzia wynika z dodania dwóch wektorów — po jednym dla każdego członu:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Pierwszy składnik w każdym równaniu określa położenie łokcia. Drugi składnik to dodatkowe przesunięcie od łokcia do narzędzia. Zauważ, że drugi człon wskazuje w kierunku θ1 + θ2, ponieważ kąt łokciowy mierzy się od pierwszego członu. Pominięcie tego dodawania to najczęstszy błąd.

Ponieważ każdy człon jest sztywny, nic więcej nie ma znaczenia. Jeśli dwa razy podasz te same kąty, zawsze otrzymasz ten sam punkt.

Odchylenie: obrót całego obiektu.

Rzeczywiste ramiona nie są ograniczone do jednej płaszczyzny. Przegub podstawy, nazywany odchyleniem, obraca całe ramię wokół pionowej osi. Wyobraź sobie lampkę biurkową obracającą się na podstawie.

Odchylenie nie zmienia dwóch rzeczy: długości każdego członu oraz wysokości narzędzia nad podstawą. Obraca tylko płaszczyznę roboczą, wskazując zasięg poziomy w nowym kierunku. Jeśli płaskie ramię sięga na odległość r od podstawy, to odchylenie o ψ umieszcza narzędzie w położeniu

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

natomiast wysokość pozostaje taka sama jak wcześniej. Dzięki temu problem trójwymiarowy można podzielić na dwuwymiarowy problem ramienia oraz obrót — dlatego wiele ramion przemysłowych buduje się właśnie w ten sposób.

Jak duży jest zasięg ramienia?

Zasięg ramienia jest ograniczony przez jego człony. Narzędzie może oddalić się od barku najbardziej wtedy, gdy oba człony ustawią się w jednej prostej: L1 + L2. Dla członów o długości 1,65 m i 1,25 m daje to 2,90 m.

Najbliżej może znaleźć się wtedy, gdy łokieć złoży się całkowicie do tyłu: |L1 − L2|, czyli tutaj 0,40 m. Pomiędzy tymi granicami narzędzie może sięgać obszaru w kształcie pierścienia wokół barku. Wszystko poza tym pierścieniem jest po prostu poza zasięgiem, niezależnie od pomysłowości sterownika.

Ta przestrzeń robocza to jedna z pierwszych rzeczy sprawdzanych przez inżynierów podczas wyboru ramienia. Cel, który wygląda na bliski podstawy, wciąż może być nieosiągalny, jeśli znajduje się wewnątrz wewnętrznego okręgu.

Dlaczego jeden cel może mieć dwie możliwe odpowiedzi, a czasami żadnej.

Odwróć obliczenia i dzieje się coś ciekawego. Wybierz osiągalny punkt, a zwykle znajdziesz dwa sposoby, by do niego dotrzeć: łokieć może zgiąć się w jedną stronę (często mówi się wtedy „łokieć w górę”) albo w drugą („łokieć w dół”). W obu przypadkach narzędzie znajdzie się dokładnie w tym samym miejscu.

Są trzy przypadki:

• Dwa rozwiązania, gdy punkt leży dokładnie wewnątrz pierścienia zasięgu.
• Jedno rozwiązanie, gdy znajduje się na samej granicy, a ramię jest całkowicie wyprostowane albo całkowicie złożone.
• Brak rozwiązania, gdy leży poza pierścieniem.

Dlatego kinematyka odwrotna jest trudniejsza niż kinematyka prosta. Kierunek prosty zawsze daje jedną odpowiedź. Kierunek odwrotny może dać dwie, jedną albo żadną, a sterownik musi rozsądnie wybrać między nimi, na przykład unikając zderzenia ze stołem.

Typowe nieporozumienia

• „Kąt łokcia mierzy się od podłoża”. W tej konwencji jest on mierzony względem pierwszego ogniwa, więc kierunek drugiego ogniwa jest sumą obu kątów.
• „Większe kąty przegubów zawsze oznaczają większy zasięg”. Zasięg zależy od tego, jak wyprostowane jest ramię, a nie od tego, o ile się obróciło.
• „Jeśli punkt jest blisko, można do niego dotrzeć”. Nie można, jeśli znajduje się wewnątrz okręgu minimalnego zasięgu.
• „Odchylenie zmienia wysokość”. Nie zmienia jej — tylko obraca ramię wokół osi pionowej.

Jak to zbadać w laboratorium.

Laboratorium ramienia robota daje Ci suwaki odchylenia, barku i łokcia oraz pokazuje ruch punktu narzędzia w 3D. Pierwszy darmowy świat ma dwie lekcje, które pasują do tego poradnika w następującej kolejności:

1. Układ współrzędnych robota przedstawia osie, konwencje pomiaru kątów i długości dwóch ogniw oraz pozwala znaleźć maksymalny zasięg ramienia.
2. Obróć płaszczyznę w przestrzeni pokazuje, co zmienia przegub podstawy, a czego nie zmienia.

Potem spróbuj ręcznie trafić w cel i zauważ, jak często działa także druga pozycja ramienia. Kolejne światy w laboratorium pokazują, jak przejść do bezpośredniego wyznaczania położeń celu.

Laboratorium to uproszczony model do nauki: ogniwa są idealnie sztywne, nie ma ograniczeń silników ani ugięcia pod wpływem grawitacji. Prawdziwe roboty mają wszystkie te cechy, ale geometria, której uczysz się tutaj, jest ich podstawą.