로봇 팔의 운동학: 관절 각도에서 위치까지

관절, 링크, 도구 끝점

로봇 팔을 단순하게 나누어 보면 두 종류의 부품이 있습니다.

• 관절은 회전하거나 때로는 미끄러지며, 모터로 움직입니다.
• 링크는 관절 사이에 있는 강성 있는 부분으로, 길이가 절대 바뀌지 않습니다.

자유로운 끝에는 도구 끝점이 있습니다. 그리퍼, 펜 또는 용접 헤드가 놓이는 지점입니다. 순운동학이 답하는 질문은 간단합니다. 모든 관절 각도가 주어졌을 때 도구 끝점은 어디에 있을까요?

반대 질문, 즉 선택한 지점에 도달할 수 있는 관절 각도를 찾는 것을 역운동학이라고 합니다. 역운동학은 더 어렵기 때문에 뒤에서 다시 살펴보겠습니다. 먼저 순운동학부터 시작해 봅시다. 순운동학은 순수한 기하학이며, 매번 답이 하나씩 나옵니다.

간단한 삼각법을 이용한 평면 2링크 팔

먼저 하나의 평면에서 움직이는 두 링크를 살펴봅시다. 링크의 길이를 L1과 L2라고 하겠습니다. 어깨 각도 θ1은 수평에서부터 측정하고, 팔꿈치 각도 θ2는 지면이 아니라 첫 번째 링크를 기준으로 측정합니다.

도구의 위치는 링크마다 하나씩, 두 벡터를 더해서 구할 수 있습니다.

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

각 식의 첫 번째 항은 팔꿈치의 위치입니다. 두 번째 항은 팔꿈치에서 도구까지의 추가 이동량입니다. 팔꿈치 각도는 첫 번째 링크를 기준으로 측정하므로 두 번째 링크는 θ1 + θ2 방향을 가리킵니다. 이 덧셈을 잊는 것이 가장 흔한 실수입니다.

모든 링크가 강성이므로 다른 것은 중요하지 않습니다. 같은 각도를 두 번 입력하면 항상 같은 위치가 나옵니다.

요: 전체 평면 돌리기

실제 팔은 한 평면 안에만 갇혀 있지 않습니다. 요라고 하는 베이스 관절은 수직축을 중심으로 팔 전체를 회전시킵니다. 책상 스탠드가 받침대에서 빙글빙글 도는 모습을 떠올려 보세요.

요는 두 가지를 바꾸지 않습니다. 각 링크의 길이와 베이스 위 도구의 높이입니다. 요가 하는 일은 작업 평면을 회전시켜 수평 도달 거리가 새로운 방향을 향하게 만드는 것뿐입니다. 평면 위의 팔이 베이스에서 바깥쪽으로 거리 r만큼 뻗어 있다면, 요가 ψ일 때 도구의 위치는 다음과 같습니다.

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

이때 높이는 그대로입니다. 이렇게 하면 3차원 문제를 2차원 팔 문제와 회전 문제로 나눌 수 있기 때문에, 많은 산업용 팔이 이런 방식으로 만들어집니다.

팔은 얼마나 멀리 뻗을 수 있을까?

팔이 뻗을 수 있는 거리는 링크에 의해 제한됩니다. 도구가 어깨 관절에서 가장 멀리 떨어지는 경우는 두 링크가 일직선으로 정렬될 때입니다. 이때 거리는 L1 + L2입니다. 길이가 1.65 m와 1.25 m인 링크라면 2.90 m입니다.

도구가 가장 가까이 다가오는 경우는 팔꿈치가 완전히 뒤로 접힐 때입니다. 이때 거리는 |L1 − L2|이며, 여기서는 0.40 m입니다. 그 사이에서는 도구가 어깨 관절을 중심으로 한 고리 모양 영역에 도달할 수 있습니다. 이 고리 바깥에 있는 곳은 제어기가 아무리 영리해도 도달할 수 없습니다.

이 작업 공간은 엔지니어가 팔을 선택할 때 가장 먼저 확인하는 것 중 하나입니다. 베이스에 가까워 보이는 목표라도 안쪽 원 안에 있으면 도달할 수 없을 수 있습니다.

하나의 목표에 답이 두 개일 수도, 없을 수도 있는 이유

수학을 거꾸로 풀면 흥미로운 일이 생깁니다. 도달할 수 있는 점을 하나 고르면, 보통 그곳에 도달하는 방법은 두 가지입니다. 팔꿈치를 한쪽으로 구부리거나(보통 팔꿈치 위라고 합니다) 반대쪽으로 구부릴 수 있습니다(팔꿈치 아래). 두 방법 모두 도구를 정확히 같은 위치에 놓습니다.

경우는 세 가지입니다.

• 도달 가능한 고리 안쪽에 점이 있을 때: 해 두 개.
• 팔이 완전히 늘어나거나 완전히 접힌 상태로 변 위에 있을 때: 해 한 개.
• 고리 바깥에 점이 있을 때: 해 없음.

그래서 역운동학은 순방향 운동학보다 더 까다롭습니다. 순방향은 항상 답을 하나만 줍니다. 반대 방향에서는 답이 두 개, 하나 또는 없을 수 있으며, 제어기는 그중에서 합리적으로 하나를 선택해야 합니다. 예를 들어 테이블과 충돌하지 않는 방법을 선택해야 합니다.

흔한 오해

• "팔꿈치 각도는 바닥을 기준으로 측정한다." 이 규칙에서는 첫 번째 링크를 기준으로 하므로, 두 번째 링크의 방향은 두 각도의 합이 됩니다.
• "관절 각도가 클수록 항상 더 멀리 뻗을 수 있다." 도달 거리는 팔이 얼마나 곧게 펴졌는지에 따라 달라지며, 얼마나 많이 회전했는지와는 관계가 없습니다.
• "어떤 점이 가까이 있으면 도달할 수 있다." 최소 도달 거리 원 안쪽에 있는 점에는 도달할 수 없습니다.
• "요가 높이를 바꾼다." 그렇지 않습니다. 요는 수직을 중심으로 팔을 회전시킬 뿐입니다.

실험실에서 탐구해 보기

로봇 팔 실험실에서는 요, 어깨, 팔꿈치를 조절하는 슬라이더를 움직이며 도구 끝점이 3D 공간에서 어떻게 움직이는지 볼 수 있어. 무료 첫 번째 월드에는 두 개의 수업이 있고, 이 가이드와 같은 순서로 진행돼:

1. 로봇의 좌표계에서는 축과 각도 규칙, 두 링크의 길이를 설정하고 팔이 최대한 뻗을 수 있는 거리를 알아봐.
2. 공간에서 평면을 회전시키기에서는 바닥 관절이 어떤 것을 바꾸고 어떤 것은 바꾸지 않는지 보여 줘.

그다음에는 직접 목표 지점을 맞혀 보고, 다른 팔 자세로도 같은 목표에 도달할 수 있는 경우가 얼마나 많은지 살펴봐. 실험실의 후속 월드에서는 목표 위치를 직접 계산하는 방법까지 배워.

이 실험실은 단순화된 교육용 모델이야. 링크는 완전히 단단하고, 모터의 제한도 없으며, 중력에 의한 처짐도 없어. 실제 로봇에는 이런 요소가 모두 있지만, 여기서 배우는 기하학이 핵심이야.