Cinématique d’un bras robotisé : des angles des articulations à la position

Articulations, liaisons et point d’outil

Si tu démontes un bras robotisé, tu trouves deux types de pièces :

• Les articulations, qui tournent (ou parfois glissent) et sont entraînées par des moteurs.
• Les segments, les parties rigides entre les articulations, dont la longueur ne change jamais.

À l’extrémité libre se trouve le point outil, l’endroit où se trouverait une pince, un stylo ou une tête de soudage. La question à laquelle répond la cinématique directe est simple : connaissant l’angle de chaque articulation, où se trouve le point outil ?

La question inverse, qui consiste à trouver les angles des articulations pour atteindre un point choisi, s’appelle la cinématique inverse. C’est plus difficile, et nous y reviendrons vers la fin. Commence par la direction directe, car il s’agit de pure géométrie et la réponse est toujours unique.

Un bras à deux maillons plan avec un peu de trigonométrie.

Commençons par observer deux segments qui se déplacent dans un seul plan plat. Appelons leurs longueurs L1 et L2. L’angle de l’épaule θ1 est mesuré par rapport à l’horizontale, tandis que l’angle du coude θ2 est mesuré par rapport au premier segment, et non par rapport au sol.

La position de l’outil se calcule en additionnant deux vecteurs, un pour chaque segment :

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Le premier terme de chaque droite indique la position du coude. Le deuxième terme correspond au décalage supplémentaire entre le coude et l’outil. Remarque que le deuxième segment pointe dans la direction θ1 + θ2, car l’angle du coude est mesuré par rapport au premier segment. Oublier cette addition est l’erreur la plus fréquente.

Comme chaque segment est rigide, rien d’autre n’a d’importance. Si tu donnes deux fois les mêmes angles, tu obtiens toujours le même point.

Lacet : rotation de l’ensemble de l’appareil.

Les bras réels ne sont pas confinés à un plan. Une articulation de base, appelée lacet, fait pivoter tout le bras autour de l’axe vertical. Imagine une lampe de bureau qui pivote sur sa base.

Le lacet ne change pas deux choses : la longueur de chaque segment et la hauteur de l’outil au-dessus de la base. Il fait seulement pivoter le plan de travail, de sorte que la portée horizontale pointe dans une nouvelle direction. Si le bras à plat atteint une distance r depuis la base, alors un lacet de ψ place l’outil à

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

tandis que la hauteur reste inchangée. Cela transforme un problème en trois dimensions en un problème de bras à deux dimensions auquel on ajoute une rotation. C’est pourquoi de nombreux bras industriels sont conçus de cette façon.

Jusqu’où le bras peut-il atteindre ?

La portée du bras est limitée par ses segments. La distance maximale que l’outil peut atteindre depuis l’épaule est obtenue lorsque les deux segments sont parfaitement alignés : L1 + L2. Pour des segments de 1,65 m et 1,25 m, cela donne 2,90 m.

La distance minimale est obtenue lorsque le coude se replie complètement vers l’arrière : |L1 − L2|, soit ici 0,40 m. Entre ces deux limites, l’outil peut atteindre une région en forme d’anneau autour de l’épaule. Tout ce qui se trouve en dehors de cet anneau est tout simplement hors de portée, même avec un contrôleur très astucieux.

Cet espace de travail est l’une des premières choses que les ingénieurs vérifient lorsqu’ils choisissent un bras. Une cible qui semble proche de la base peut malgré tout être inaccessible si elle se trouve à l’intérieur du cercle central.

Pourquoi une cible peut avoir deux solutions, ou aucune

Quand on fait les calculs à l’envers, il se passe quelque chose d’intéressant. Choisis un point accessible : il y a généralement deux façons de l’atteindre. Le coude peut se plier dans un sens (souvent appelé coude vers le haut) ou dans l’autre (coude vers le bas). Dans les deux cas, l’outil se retrouve exactement au même endroit.

Il y a trois cas :

• Deux solutions, lorsque le point se trouve strictement à l’intérieur de l’anneau accessible.
• Une solution, lorsqu’il se trouve exactement sur le bord, avec le bras complètement étendu ou complètement replié.
• Aucune solution, lorsqu’il se trouve en dehors de l’anneau.

C’est pourquoi la cinématique inverse est plus complexe que la cinématique directe. La direction directe donne toujours une solution. La direction inverse peut en donner deux, une ou aucune, et le contrôleur doit choisir intelligemment, par exemple en évitant une collision avec la table.

Idées reçues courantes

• "L’angle du coude est mesuré par rapport au sol." Dans cette convention, il est relatif au premier segment : la direction du deuxième segment est donc la somme des deux angles.
• "Des angles d’articulation plus grands donnent toujours une portée plus grande." La portée dépend du degré de déploiement du bras, et non de l’angle de rotation.
• "Si un point est proche, il est atteignable." À l’intérieur du cercle de portée minimale, il ne l’est pas.
• "Le lacet modifie la hauteur." Non : il fait seulement tourner le bras autour de l’axe vertical.

Comment explorer cela dans le laboratoire

Le laboratoire du bras robotique te propose des curseurs pour le lacet, l’épaule et le coude, et affiche le déplacement du point outil en 3D. Le premier monde gratuit contient deux leçons, qui correspondent à ce guide dans l’ordre :

1. Le système de coordonnées du robot met en place les axes, les conventions d’angles et les longueurs des deux segments, et te permet de trouver la portée maximale du bras.
2. Faire pivoter un plan dans l’espace montre ce que l’articulation de la base modifie ou non.

Ensuite, essaie d’atteindre une cible à la main et remarque combien de fois une deuxième position du bras fonctionne aussi. Les mondes suivants du laboratoire vont plus loin et permettent de calculer directement les positions cibles.

Le laboratoire est un modèle pédagogique simplifié : segments parfaitement rigides, aucune limite de moteur et aucun affaissement dû à la gravité. Les vrais robots prennent tous ces éléments en compte, mais la géométrie que tu apprends ici en est le cœur.