Robot Kol Kinematiği: Eklem Açılarından Konuma

Eklemler, bağlantılar ve takım noktası

Bir robot kolunu sadeleştirdiğinde iki tür parça görürsün:

• Eklemler döner (bazen de kayar) ve motorlarla hareket ettirilir.
• Bağlantılar, eklemler arasındaki rijit parçalardır; uzunlukları hiç değişmez.

Serbest uçta takım noktası bulunur. Bu, bir kavrayıcının, kalemin veya kaynak başlığının bulunacağı noktadır. İleri kinematiğin yanıtladığı soru basittir: Her eklemin açısı verildiğinde takım noktası nerededir?

Ters soru, seçilen bir noktaya ulaşacak eklem açılarını bulmak, ters kinematik olarak adlandırılır. Bu daha zordur ve yazının sonlarına doğru buna geri döneceğiz. İleri yönden başlayalım; çünkü bu, her seferinde tek bir cevabı olan saf geometridir.

Biraz trigonometri içeren düz iki bağlantılı kol

Önce tek bir düzlemde hareket eden iki bağlantıya bakalım. Bağlantı uzunluklarına L1 ve L2 diyelim. Omuz açısı θ1, yataydan ölçülür; dirsek açısı θ2 ise zemine göre değil, ilk bağlantıya bağıl olarak ölçülür.

Takımın konumu, her bağlantı için bir tane olmak üzere iki vektörün toplanmasıyla bulunur:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Her satırdaki ilk terim dirseğin bulunduğu yerdir. İkinci terim, dirsekten takıma olan ek uzaklıktır. İkinci bağlantının θ1 + θ2 yönünü gösterdiğine dikkat et; çünkü dirsek açısı ilk bağlantıdan ölçülür. Bu toplamayı unutmak en sık yapılan hatadır.

Her bağlantı rijit olduğu için başka hiçbir şey önemli değildir. Aynı açıları iki kez verirsen her zaman aynı noktayı elde edersin.

Sapma: tüm düzlemi döndürmek

Gerçek kollar bir düzlemle sınırlı değildir. Sapma adı verilen bir taban eklemi, kolun tamamını düşey eksen etrafında döndürür. Tabanı üzerinde dönen bir masa lambası düşün.

Sapma iki şeyi değiştirmez: her bağlantının uzunluğunu ve aracın tabanın üzerindeki yüksekliğini. Yaptığı tek şey çalışma düzlemini döndürmek ve böylece yatay uzanımı yeni bir yöne çevirmektir. Düz kol tabandan dışarı doğru r uzaklığına ulaşıyorsa, ψ kadar sapma, aracı

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

konumuna getirir; bu sırada yükseklik aynı kalır. Böylece üç boyutlu bir problem, iki boyutlu bir kol problemine ve bir dönmeye ayrılır; birçok endüstriyel kolun bu şekilde tasarlanmasının nedeni budur.

Kol ne kadar uzağa ulaşabilir?

Kolun erişim mesafesi, uzuvlarının uzunluklarıyla sınırlıdır. Aletin omuzdan en uzağa ulaşabildiği durum, iki uzvun da aynı doğru üzerinde hizalandığı andır: L1 + L2. Uzunlukları 1,65 m ve 1,25 m olan uzuvlar için bu mesafe 2,90 m'dir.

Ulaşabileceği en yakın nokta ise dirsek tamamen geriye katlandığında oluşur: |L1 − L2|; burada bu mesafe 0,40 m'dir. Bu iki sınır arasında alet, omuzun çevresindeki halka biçimli bir bölgeye ulaşabilir. Ne kadar akıllı olursa olsun, denetleyici bu halkanın dışındaki hiçbir noktaya ulaşamaz.

Bu çalışma alanı, mühendislerin bir kol seçerken kontrol ettiği ilk şeylerden biridir. Tabanın yakınında görünen bir hedef, iç çemberin içinde kalıyorsa yine de erişilemez olabilir.

Neden bir hedef için iki farklı çözüm veya hiç çözüm olmayabilir?

Matematiği tersten uyguladığında ilginç bir şey olur. Erişilebilir bir nokta seçtiğinde, oraya ulaşmanın genellikle iki yolu vardır: dirsek bir yöne (genellikle dirsek yukarı denir) ya da diğer yöne (dirsek aşağı) bükülebilir. Her iki durumda da alet tam olarak aynı yere ulaşır.

Üç durum vardır:

• Nokta erişilebilir halkanın tam içinde olduğunda iki çözüm.
• Kol tamamen açılmış ya da tamamen katlanmış hâlde, nokta tam sınırda olduğunda bir çözüm.
• Nokta halkanın dışında olduğunda çözüm yok.

Ters kinematiğin ileri kinematikten daha zor olmasının nedeni budur. İleri yönde her zaman tek bir yanıt elde edilir. Ters yönde ise iki, bir veya hiç çözüm elde edilebilir ve denetleyici, örneğin masaya çarpmaktan kaçınarak bunlar arasından mantıklı bir seçim yapmalıdır.

Yaygın yanlış kanılar

• "Dirsek açısı zeminden ölçülür." Bu kurala göre açı, ilk uzva göre belirlenir; bu nedenle ikinci uzvun yönü, iki açının toplamıdır.
• "Daha büyük eklem açıları her zaman daha fazla erişim anlamına gelir." Erişim, kolun ne kadar döndüğüne değil, ne kadar düz olduğuna bağlıdır.
• "Bir nokta yakınsa ona ulaşılabilir." Minimum erişim çemberinin içindeki noktalara ulaşılamaz.
• "Sapma yüksekliği değiştirir." Değiştirmez; yalnızca kolu düşey eksen etrafında döndürür.

Bunu laboratuvarda nasıl inceleyebilirsiniz?

Robot Kol Laboratuvarı, sapma, omuz ve dirsek için kaydırıcılar sunar ve araç noktasının 3B'de hareketini gösterir. Ücretsiz ilk dünyada iki ders bulunur ve bu rehberle aynı sırayı izler:

1. Robotun koordinat sistemi eksenleri, açı kurallarını ve iki bağlantının uzunluklarını tanıtır; ayrıca kolun maksimum erişim mesafesini bulmanı sağlar.
2. Bir düzlemi uzayda döndür taban ekleminin neleri değiştirip neleri değiştirmediğini gösterir.

Bunlardan sonra elle bir hedefi vurmaya çalış ve ikinci bir kol pozunun da ne kadar sık işe yaradığını fark et. Laboratuvardaki sonraki dünyalar, hedef konumlarını doğrudan çözmeye geçer.

Laboratuvar basitleştirilmiş bir eğitim modelidir: tamamen rijit bağlantılar, motor limitleri yok ve yerçekimi nedeniyle sarkma yok. Gerçek robotlarda bunların hepsi bulunur, ancak burada öğrendiğin geometri temeldir.