Robotarmens kinematik: Fra ledvinkler til position

Led, forbindelser og værktøjspunktet

Hvis man skærer en robotarm ind til benet, finder man to slags dele:

• Led, som drejer (eller nogle gange glider), og som drives af motorer.
• Forbindelser, de stive segmenter mellem leddene, som aldrig ændrer længde.

I den frie ende sidder værktøjspunktet, det sted, hvor en griber, pen eller svejsehoved ville være. Det en fremadrettet kinematik besvarer, er enkelt: Hvor er værktøjspunktet, når man kender alle leddenes vinkler?

Det omvendte spørgsmål, nemlig at finde de ledvinkler, der når et bestemt punkt, kaldes invers kinematik. Det er sværere, og vi vender tilbage til det hen mod slutningen. Begynd med den fremadrettede retning, fordi det er ren geometri med ét svar hver gang.

En flad arm med to forbindelser og lidt trigonometri

Se først på to forbindelser, der bevæger sig i det samme flade plan. Kald forbindelsernes længder for L1 og L2. Skuldervinklen θ1 måles fra den vandrette retning, og albuevinklen θ2 måles relativt til den første forbindelse, ikke i forhold til jorden.

Værktøjets position følger af at lægge to vektorer sammen, én for hver forbindelse:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Det første led i hver linje er det sted, hvor albuen sidder. Det andet led er den ekstra forskydning fra albuen til værktøjet. Bemærk, at den anden forbindelse peger i retningen θ1 + θ2, fordi albuevinklen måles fra den første forbindelse. At glemme den addition er den mest almindelige fejl.

Fordi alle forbindelser er stive, er intet andet vigtigt. Giv de samme vinkler to gange, så får du altid det samme punkt.

Girning: drejning af hele planet

Rigtige arme er ikke begrænset til et plan. Et grundled, der kaldes girning, drejer hele armen omkring den lodrette akse. Tænk på en skrivebordslampe, der drejer på sin fod.

Girning ændrer ikke to ting: længden af hvert led og værktøjets højde over basen. Den drejer kun arbejdsplanet, så den vandrette rækkevidde peger i en ny retning. Hvis den flade arm rækker en afstand r ud fra basen, placerer en girning på ψ værktøjet ved

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

mens højden forbliver den samme. På den måde bliver et tredimensionelt problem delt op i et todimensionelt armproblem plus en rotation, og derfor er mange industriarme bygget på denne måde.

Hvor langt kan armen nå?

Armens rækkevidde er begrænset af dens led. Værktøjet kan komme længst væk fra skulderen, når begge led ligger på lige linje: L1 + L2. For led på 1,65 m og 1,25 m er det 2,90 m.

Det nærmeste, den kan komme, er, når albuen bøjes helt tilbage: |L1 − L2|, her 0.40 m. Imellem disse grænser kan værktøjet nå et ringformet område omkring skulderen. Alt uden for denne ring er ganske enkelt uden for rækkevidde, uanset hvor smart styringen er.

Dette arbejdsområde er noget af det første, ingeniører undersøger, når de vælger en arm. Et mål, der ser ud til at være tæt på basen, kan stadig være umuligt at nå, hvis det ligger inden for den indre cirkel.

Hvorfor ét mål kan have to svar eller ingen

Når man regner matematikken baglæns, sker der noget interessant. Vælg et punkt, der kan nås, så er der normalt to måder at komme derhen på: Albuen kan bøjes den ene vej (ofte kaldet albue op) eller den anden vej (albue ned). Begge placerer værktøjet præcis samme sted.

Der er tre tilfælde:

• To løsninger, når punktet ligger helt inde i den rækkevidde, der har form som en ring.
• Én løsning, når det ligger præcis på kanten, og armen er strakt helt ud eller foldet helt sammen.
• Ingen løsning, når det ligger uden for ringen.

Derfor er invers kinematik sværere end fremadrettet kinematik. Den fremadrettede retning giver altid ét svar. Den omvendte retning kan give to, ét eller ingen, og styringen skal vælge mellem dem på en fornuftig måde, for eksempel ved at undgå en kollision med bordet.

Almindelige misforståelser

• "Albuevinklen måles fra jorden." I denne konvention er den relativ til det første led, så det andet leds retning er summen af begge vinkler.
• "Større ledvinkler betyder altid større rækkevidde." Rækkevidden afhænger af, hvor udstrakt armen er, ikke af hvor meget den er drejet.
• "Hvis et punkt er tæt på, kan det nås." Det kan det ikke inden for cirklen for minimumsrækkevidden.
• "Girning ændrer højden." Det gør den ikke; den drejer kun armen omkring den lodrette akse.

Sådan udforsker du det i laboratoriet

Robotarmslaboratoriet giver dig skydere til girning, skulder og albue og viser værktøjspunktet bevæge sig i 3D. Den første gratis verden har to lektioner, og de passer til denne guide i denne rækkefølge:

1. Robotarmens koordinatsystem opstiller akserne, vinkelkonventionerne og de to ledlængder og lader dig finde armens maksimumsrækkevidde.
2. Drej et plan gennem rummet viser, hvad grundleddet gør og ikke ændrer.

Prøv bagefter at ramme et mål med hånden, og læg mærke til, hvor ofte en anden armposition også virker. Senere verdener i laboratoriet udvider dette til at finde målpositioner direkte.

Laboratoriet er en forenklet undervisningsmodel: helt stive led, ingen motorgrænser og ingen nedbøjning på grund af tyngdekraften. Virkelige robotter har alt dette, men den geometri, du lærer her, er kernen.