Cinematica del braccio robotico: dagli angoli dei giunti alla posizione

Giunti, elementi e punto utensile

Se scomponi un braccio robotico, trovi due tipi di componenti:

• Giunti, che ruotano (o a volte scorrono) e sono azionati da motori.
• Elementi, i segmenti rigidi tra i giunti, che non cambiano mai lunghezza.

All'estremità libera si trova il punto utensile, il punto in cui si troverebbero una pinza, una penna o una testa per saldatura. La domanda a cui risponde la cinematica diretta è semplice: dati tutti gli angoli dei giunti, dov'è il punto utensile?

La domanda inversa, cioè trovare gli angoli dei giunti che permettono di raggiungere un punto scelto, si chiama cinematica inversa. È più difficile e ci torneremo verso la fine. Iniziamo dalla direzione diretta, perché è pura geometria e ha sempre una sola risposta.

Un braccio piatto a due elementi con un po' di trigonometria

Osserviamo prima due elementi che si muovono su un unico piano piatto. Chiamiamo le lunghezze degli elementi L1 e L2. L'angolo della spalla θ1 si misura rispetto all'orizzontale, mentre l'angolo del gomito θ2 si misura rispetto al primo elemento, non rispetto al suolo.

La posizione dell'utensile si ottiene sommando due vettori, uno per ogni elemento:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Il primo termine di ogni riga indica dove si trova il gomito. Il secondo termine è lo spostamento aggiuntivo dal gomito all'utensile. Nota che il secondo elemento punta nella direzione θ1 + θ2, perché l'angolo del gomito si misura rispetto al primo elemento. Dimenticare questa somma è l'errore più comune.

Poiché ogni elemento è rigido, non serve altro. Se dai gli stessi angoli due volte, ottieni sempre lo stesso punto.

Imbardata: ruotare l'intero piano

Le braccia reali non sono confinate in un piano. Un’articolazione della base, chiamata imbardata, ruota l’intero braccio attorno all’asse verticale. Pensa a una lampada da scrivania che ruota sulla sua base.

L’imbardata lascia invariati due elementi: la lunghezza di ogni segmento e l’altezza dello strumento sopra la base. Fa solo ruotare il piano di lavoro, così la portata orizzontale viene orientata in una nuova direzione. Se il braccio piatto raggiunge una distanza r dalla base, allora un’imbardata di ψ posiziona lo strumento in

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

mentre l’altezza rimane invariata. In questo modo, un problema tridimensionale si divide in un problema bidimensionale del braccio più una rotazione: ecco perché molti bracci industriali sono costruiti in questo modo.

Quanto lontano può arrivare il braccio?

La portata del braccio è limitata dai suoi segmenti. Lo strumento può allontanarsi il più possibile dalla spalla quando i due segmenti sono perfettamente allineati: L1 + L2. Per segmenti lunghi 1,65 m e 1,25 m, il risultato è 2,90 m.

La distanza minima si ottiene quando il gomito si ripiega completamente all’indietro: |L1 − L2|, cioè 0,40 m in questo caso. Tra questi due estremi, lo strumento può raggiungere una regione a forma di anello intorno alla spalla. Tutto ciò che si trova fuori da quell’anello è semplicemente irraggiungibile, per quanto sia intelligente il controller.

Questo spazio di lavoro è una delle prime cose che gli ingegneri controllano quando scelgono un braccio. Un obiettivo che sembra vicino alla base potrebbe essere comunque irraggiungibile se si trova all’interno della circonferenza interna.

Perché un obiettivo può avere due soluzioni o nessuna

Eseguendo i calcoli al contrario succede qualcosa di interessante. Scegli un punto raggiungibile e di solito ci sono due modi per arrivarci: il gomito può piegarsi in un modo (spesso chiamato gomito in alto) oppure nell’altro (gomito in basso). In entrambi i casi, lo strumento si trova esattamente nella stessa posizione.

Ci sono tre casi:

• Due soluzioni, quando il punto si trova strettamente all’interno dell’anello raggiungibile.
• Una soluzione, quando si trova proprio sul bordo, con il braccio completamente disteso o completamente ripiegato.
• Nessuna soluzione, quando si trova fuori dall’anello.

Ecco perché la cinematica inversa è più complicata di quella diretta. La direzione diretta dà sempre una risposta. Quella inversa può darne due, una o nessuna, e il controller deve scegliere con criterio, per esempio evitando una collisione con il tavolo.

Errori comuni

• "L’angolo del gomito si misura dal suolo." In questa convenzione è relativo al primo segmento, quindi la direzione del secondo segmento è la somma di entrambi gli angoli.
• "Angoli delle articolazioni più grandi significano sempre una portata maggiore." La portata dipende da quanto è disteso il braccio, non da quanto ha ruotato.
• "Se un punto è vicino, è raggiungibile." All’interno della circonferenza della portata minima non lo è.
• "L’imbardata cambia l’altezza." Non è così: ruota soltanto il braccio attorno alla verticale.

Come esplorarlo nel laboratorio

Il Laboratorio del braccio robotico ti mette a disposizione dei cursori per l’imbardata, la spalla e il gomito e mostra il movimento dell’estremità dello strumento nello spazio 3D. Il primo mondo gratuito contiene due lezioni, che si collegano a questa guida nel seguente ordine:

1. Il sistema di coordinate del robot imposta gli assi, le convenzioni per gli angoli e le lunghezze dei due segmenti, e ti permette di trovare la portata massima del braccio.
2. Ruotare un piano nello spazio mostra che cosa cambia e che cosa non cambia con l’articolazione della base.

Dopo queste lezioni, prova a raggiungere un obiettivo a mano e nota quanto spesso sia possibile anche una seconda posizione del braccio. I mondi successivi del laboratorio estendono questa attività alla ricerca diretta delle posizioni dell’obiettivo.

Il laboratorio è un modello didattico semplificato: segmenti perfettamente rigidi, nessun limite dei motori e nessun cedimento dovuto alla gravità. I robot reali includono tutti questi aspetti, ma la geometria che impari qui è il nucleo.