Kinematik eines Roboterarms: Von Gelenkwinkeln zur Position

Gelenke, Glieder und der Werkzeugpunkt

Zerlegt man einen Roboterarm in seine Einzelteile, findet man zwei Arten von Teilen:

• Gelenke, die sich drehen (oder manchmal verschieben) und von Motoren angetrieben werden.
• Glieder, die steifen Abschnitte zwischen den Gelenken, deren Länge sich nie verändert.

Am freien Ende befindet sich der Werkzeugpunkt – die Stelle, an der sich ein Greifer, ein Stift oder ein Schweißkopf befinden würde. Die Frage, die die Vorwärtskinematik beantwortet, ist einfach: Wo befindet sich der Werkzeugpunkt, wenn alle Gelenkwinkel bekannt sind?

Die umgekehrte Frage, also Gelenkwinkel zu finden, mit denen ein ausgewählter Punkt erreicht wird, nennt man inverse Kinematik. Das ist schwieriger, und wir kommen gegen Ende darauf zurück. Beginne mit der Vorwärtsrichtung, denn sie basiert vollständig auf Geometrie und liefert jedes Mal genau eine Lösung.

Ein flacher Arm mit zwei Gliedern und etwas Trigonometrie

Betrachte zuerst zwei Glieder, die sich in einer einzigen flachen Ebene bewegen. Nenne die Längen der Glieder L1 und L2. Der Schulterwinkel θ1 wird von der horizontalen Richtung aus gemessen, und der Ellenbogenwinkel θ2 relativ zum ersten Glied und nicht zum Boden.

Die Position des Werkzeugs ergibt sich aus der Addition zweier Vektoren, einer pro Glied:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Der erste Term in jeder Geraden gibt an, wo sich der Ellenbogen befindet. Der zweite Term ist der zusätzliche Abstand vom Ellenbogen zum Werkzeug. Beachte, dass das zweite Glied in die Richtung θ1 + θ2 zeigt, weil der Ellenbogenwinkel vom ersten Glied aus gemessen wird. Diese Addition zu vergessen, ist der häufigste Fehler.

Da jedes Glied steif ist, spielt nichts anderes eine Rolle. Gib zweimal dieselben Winkel ein, erhältst du immer denselben Punkt.

Gieren: Die ganze Ebene drehen

Echte Arme sind nicht auf eine Ebene beschränkt. Ein Basisgelenk, das Gieren genannt wird, dreht den gesamten Arm um die vertikale Achse. Stell dir eine Schreibtischlampe vor, die sich auf ihrer Basis drehen lässt.

Das Gieren lässt zwei Dinge unverändert: die Länge jedes Glieds und die Höhe des Werkzeugs über der Basis. Es dreht nur die Arbeitsebene, sodass die horizontale Reichweite in eine neue Richtung zeigt. Wenn der flache Arm von der Basis aus eine Entfernung r erreicht, bringt ein Gieren um ψ das Werkzeug an die

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

während die Höhe gleich bleibt. So wird ein dreidimensionales Problem in ein zweidimensionales Armproblem plus eine Drehung aufgeteilt. Deshalb sind viele Industrieroboterarme so aufgebaut.

Wie weit kann der Arm reichen?

Die Reichweite des Arms wird durch seine Glieder begrenzt. Am weitesten kommt das Werkzeug von der Schulter weg, wenn beide Glieder eine gerade Linie bilden: L1 + L2. Bei Gliedern mit 1,65 m und 1,25 m ergibt das 2,90 m.

Am nächsten kommt es heran, wenn der Ellbogen vollständig nach hinten gebeugt ist: |L1 − L2|, hier also 0,40 m. Dazwischen kann das Werkzeug einen ringförmigen Bereich um die Schulter erreichen. Alles außerhalb dieses Rings ist einfach nicht erreichbar, ganz egal, wie clever der Controller ist.

Dieser Arbeitsbereich gehört zu den ersten Dingen, die Ingenieurinnen und Ingenieure bei der Auswahl eines Arms prüfen. Ein Ziel, das nahe an der Basis aussieht, kann trotzdem unerreichbar sein, wenn es innerhalb des inneren Kreises liegt.

Warum ein Zielwert zwei oder keine Lösungen haben kann.

Wenn man die Mathematik rückwärts ausführt, passiert etwas Interessantes. Wähle eine erreichbare Position, und normalerweise gibt es zwei Wege dorthin: Der Ellbogen kann sich in die eine Richtung beugen (oft „Ellbogen oben“ genannt) oder in die andere (Ellbogen unten). Beide bringen das Werkzeug genau an dieselbe Position.

Es gibt drei Fälle:

• Zwei Lösungen, wenn der Punkt genau innerhalb des erreichbaren Rings liegt.
• Eine Lösung, wenn er direkt auf der Kante liegt und der Arm vollständig ausgestreckt oder vollständig zusammengefaltet ist.
• Keine Lösung, wenn er außerhalb des Rings liegt.

Deshalb ist die inverse Kinematik schwieriger als die Vorwärtskinematik. Die Vorwärtsrichtung liefert immer eine Antwort. Die umgekehrte Richtung kann zwei, eine oder keine liefern, und der Controller muss sinnvoll zwischen ihnen wählen, zum Beispiel indem er eine Kollision mit dem Tisch vermeidet.

Häufige Missverständnisse

• "Der Ellbogenwinkel wird vom Boden aus gemessen." Bei dieser Konvention bezieht er sich auf das erste Glied. Die Richtung des zweiten Glieds ist also die Summe beider Winkel.
• "Größere Gelenkwinkel bedeuten immer eine größere Reichweite." Die Reichweite hängt davon ab, wie gerade der Arm ist, nicht davon, wie stark er gedreht wurde.
• "Wenn ein Punkt nah ist, kann er erreicht werden." Innerhalb des Kreises der Mindestre ichweite ist das nicht möglich.
• "Gieren verändert die Höhe." Das tut es nicht. Es dreht den Arm nur um die vertikale Achse.

So erkundest du das im Labor

Das Roboterarm-Labor bietet dir Schieberegler für Gieren, Schulter und Ellbogen und zeigt, wie sich der Werkzeugpunkt im 3D-Raum bewegt. Die erste kostenlose Welt enthält zwei Lektionen, die zu diesem Leitfaden passen:

1. Das Koordinatensystem des Roboters führt die Achsen, die Winkelkonventionen und die beiden Gliedlängen ein und lässt dich die maximale Reichweite des Arms herausfinden.
2. Eine Ebene durch den Raum drehen zeigt, was das Basisgelenk verändert und was nicht.

Versuche danach, ein Ziel per Hand zu treffen, und achte darauf, wie oft auch eine zweite Armposition funktioniert. Spätere Welten im Labor erweitern das und zeigen, wie man Zielpositionen direkt berechnet.

Das Labor ist ein vereinfachtes Lernmodell: vollkommen starre Glieder, keine Motorgrenzwerte und kein Durchhängen durch die Schwerkraft. Echte Roboter berücksichtigen all das, aber die Geometrie, die du hier lernst, ist der Kern.