Robottivarren kinematiikka: nivelen kulmista asemaan

Nivelkohdat, linkit ja työkalun päätepiste

Kun robotin varsi puretaan osiin, jäljelle jää kahdenlaisia osia:

• Nivelet, jotka pyörivät (tai joskus liukuvat) ja joita moottorit liikuttavat.
• Linkit, nivelten väliset jäykät osat, jotka eivät koskaan muuta pituuttaan.

Vapaassa päässä on työkalupiste eli kohta, jossa tarttuja, kynä tai hitsauspää olisi. Eteenpäinkinematiikka vastaa yksinkertaiseen kysymykseen: missä työkalupiste on, kun jokaisen nivelen kulma tunnetaan?

Käänteinen kysymys eli valittuun pisteeseen yltävien nivelkulmien löytäminen tunnetaan nimellä käänteiskinematiikka. Se on vaikeampaa, ja palaamme siihen lähempänä loppua. Aloitetaan eteenpäin suuntautuvasta tarkastelusta, koska se on pelkkää geometriaa ja antaa joka kerta yhden vastauksen.

Tasainen, kahdesta linkistä koostuva robottikäsi, jossa käytetään trigonometriaa.

Tarkastellaan ensin kahta linkkiä, jotka liikkuvat yhdessä tasossa. Merkitään linkkien pituuksiksi L1 ja L2. Olkanivelen kulma θ1 mitataan vaakasuorasta suunnasta, ja kyynärnivelen kulma θ2 mitataan suhteessa ensimmäiseen linkkiin, ei maahan.

Työkalun asema saadaan laskemalla yhteen kaksi vektoria, yksi kumpaakin linkkiä kohti:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Kummankin suoran ensimmäinen termi kertoo, missä kyynärnivel sijaitsee. Toinen termi on kyynärnivelestä työkaluun ulottuva lisäsiirtymä. Huomaa, että toinen linkki osoittaa suuntaan θ1 + θ2, koska kyynärnivelen kulma mitataan ensimmäisestä linkistä. Tämän yhteenlaskun unohtaminen on yleisin virhe.

Koska jokainen linkki on jäykkä, millään muulla ei ole merkitystä. Kun annat samat kulmat kahdesti, saat aina saman pisteen.

Suuntauskulma: koko rungon kääntäminen

Todelliset varret eivät rajoitu yhteen tasoon. Suuntaukseksi kutsuttu tyven nivel pyörittää koko vartta pystysuoran akselin ympäri. Ajattele pöytälamppua, joka kääntyy jalustansa päällä.

Suuntauksen muuttaminen ei vaikuta kahteen asiaan: jokaisen linkin pituuteen eikä työkalun korkeuteen tyven yläpuolella. Se vain pyörittää työskentelytasoa, jolloin vaakasuora ulottuvuus suuntautuu uudelleen. Jos tasossa oleva varsi ulottuu tyvestä etäisyydelle r, suuntauskulma ψ asettaa työkalun asemaan

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

samalla kun korkeus pysyy ennallaan. Näin kolmiulotteinen ongelma voidaan jakaa kaksiulotteiseen varsiongelmaan ja kiertoon, minkä vuoksi monet teollisuusrobotit rakennetaan tällä tavalla.

Kuinka pitkälle robottikäsi yltää?

Varren ulottuvuutta rajoittavat sen nivelet yhdistävät osat. Työkalu pääsee kauimmaksi olkanivelestä, kun molemmat osat ovat suorassa linjassa: L1 + L2. Kun osien pituudet ovat 1,65 m ja 1,25 m, tulos on 2,90 m.

Lähimmäksi työkalu pääsee, kun kyynärnivel taittuu täysin taakse: |L1 − L2|, tässä tapauksessa 0,40 m. Näiden rajojen välissä työkalu yltää olkanivelen ympärillä olevalle renkaan muotoiselle alueelle. Kaikki tämän renkaan ulkopuolella oleva on yksinkertaisesti ulottumattomissa, olipa ohjain kuinka nokkela tahansa.

Tämä työtila on yksi ensimmäisistä asioista, jotka insinöörit tarkistavat käsivartta valitessaan. Kohde, joka näyttää olevan lähellä jalustaa, voi silti olla saavuttamattomissa, jos se on sisäympyrän sisällä.

Miksi yhdellä kohdepisteellä voi olla kaksi ratkaisua tai ei yhtään.

Kun matematiikka lasketaan takaperin, tapahtuu jotain kiinnostavaa. Valitse saavutettavissa oleva piste, ja sinne pääsemiseen on yleensä kaksi tapaa: kyynärnivel voi taipua yhteen suuntaan (usein nimeltään kyynärpää ylös) tai toiseen suuntaan (kyynärpää alas). Molemmissa tapauksissa työkalu päätyy täsmälleen samaan paikkaan.

Tapauksia on kolme:

• Kaksi ratkaisua, kun piste on saavutettavissa olevan renkaan sisäpuolella.
• Yksi ratkaisu, kun piste on aivan reunalla ja varsi on täysin suorana tai täysin taittuneena.
• Ei ratkaisua, kun piste on renkaan ulkopuolella.

Siksi käänteiskinematiikka on hankalampaa kuin eteenpäin laskettava kinematiikka. Eteenpäin laskeminen antaa aina yhden vastauksen. Käänteinen laskeminen voi antaa kaksi, yhden tai ei yhtään, ja ohjaimen on valittava niistä järkevä, esimerkiksi pöytään törmäämisen välttämiseksi.

Yleisiä väärinkäsityksiä

• "Kyynärnivelen kulma mitataan maanpinnasta." Tässä käytännössä se mitataan ensimmäiseen varren osaan nähden, joten toisen osan suunta on molempien kulmien summa.
• "Suuremmat nivelkulmat tarkoittavat aina suurempaa ulottuvuutta." Ulottuvuus riippuu siitä, kuinka suorana varsi on, ei siitä, kuinka paljon se on kääntynyt.
• "Jos piste on lähellä, siihen pääsee." Minimietäisyyden ympyrän sisällä olevaan pisteeseen ei pääse.
• "Suuntauksen muuttaminen muuttaa korkeutta." Se ei muuta korkeutta, vaan kääntää vartta pystysuoran akselin ympäri.

Miten tätä voidaan tutkia laboratoriossa?

Robot Arm Lab antaa sinulle säätimet suuntauskulmalle, olkanivelelle ja kyynärnivelelle ja näyttää työkalupisteen liikkeen 3D:ssä. Maksuttomassa ensimmäisessä maailmassa on kaksi oppituntia, ja ne sopivat tähän oppaaseen tässä järjestyksessä:

1. Robotin koordinaatisto esittelee akselit, kulmakäytännöt ja varsien kaksi pituutta sekä antaa sinun selvittää varren maksimiulottuvuuden.
2. Käännä tasoa avaruudessa näyttää, mitä tyvij nivel tekee ja mitä se ei muuta.

Kokeile sen jälkeen osua kohteeseen käsin ja huomaa, kuinka usein myös toinen varren asento toimii. Laboratorion myöhemmissä maailmoissa tätä laajennetaan niin, että kohteiden sijainnit ratkaistaan suoraan.

Laboratorio on yksinkertaistettu opetusmalli: täysin jäykät varret, ei moottorien rajoja eikä painovoiman aiheuttamaa taipumista. Oikeissa roboteissa nämä kaikki vaikuttavat, mutta täällä oppimasi geometria on kaiken perusta.