机械臂运动学：从关节角度到位置

关节、连杆和工具点

将机械臂拆解后，你会发现两种部件：

• 关节，它们旋转（有时滑动），由电机驱动。
• 连杆，关节之间坚硬的段，长度永不改变。

在自由端是工具点，即夹爪、笔或焊接头所在的位置。正向运动学回答的问题很简单：给定所有关节角度，工具点在哪里？

相反的问题，即找到能到达选定点的关节角度，称为逆向运动学。它更复杂，我们稍后会回到这个问题。先从正向开始，因为它是纯几何问题，每次都有唯一解。

平面双连杆臂与一点三角函数

首先看两个在单一平面内运动的连杆。设连杆长度分别为 L1 和 L2。肩部角度 θ1 从水平方向测量，而肘部角度 θ2 是相对于第一根连杆测量的，而不是相对于地面。

工具的位置由两个向量相加得出，每根连杆对应一个向量：

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

每行中的第一项表示肘部的位置。第二项是从肘部到工具的额外偏移量。注意，第二根连杆指向 θ1 + θ2 的方向，因为肘部角度是相对于第一根连杆测量的。忘记加上这个角度是最常见的错误。

由于每根连杆都是刚性的，其他因素都不重要。给定相同的角度两次，你总是得到同一个点。

偏航：旋转整个平面

真实的机械臂并不局限在一个平面内。一个被称为 偏航（yaw） 的基座关节，会让整条机械臂绕垂直轴旋转。想象一下，台灯可以绕着底座转动。

偏航不会改变两件事：每个连杆的长度，以及工具高出底座的高度。它所做的只是让工作平面旋转，从而使水平伸展方向指向新的位置。如果平面机械臂从底座向外伸出距离 r，那么偏航角为 ψ 时，工具的位置就是

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

而高度保持不变。这样一来，三维问题就可以分解成一个二维机械臂问题，再加上一次旋转，这也是许多工业机械臂采用这种结构的原因。

机械臂能伸多远？

机械臂的伸展范围受其连杆限制。工具离肩部最远的时候是两根连杆完全伸直：L1 + L2。对于 1.65 米和 1.25 米的连杆，这是 2.90 米。

最近的时候是肘部完全折叠回来：|L1 − L2|，这里是 0.40 米。在这两者之间，工具可以到达肩部周围的一个环形区域。该环形区域之外的任何地方都是无法到达的，无论控制器多么聪明。

这个工作空间是工程师选择机械臂时首先检查的事项之一。一个看起来离基座很近的目标，如果落在内圆内，可能仍然无法到达。

为什么一个目标可能有两个答案，或者没有答案

反向计算数学公式会发生一些有趣的事情。选择一个可到达的点，通常有两种方法到达那里：肘部可以向一个方向弯曲（通常称为肘部向上）或向另一个方向弯曲（肘部向下）。两者都将工具放在完全相同的位置。

有三种情况：

• 两个解，当点严格位于可到达的环形区域内时。
• 一个解，当点正好位于边缘，机械臂完全伸直或完全折叠时。
• 无解，当点位于环形区域外时。

这就是为什么逆运动学比正运动学更复杂。正向方向总是给出一个答案。反向方向可能给出两个、一个或没有答案，控制器必须明智地在它们之间做出选择，例如避免与桌子发生碰撞。

常见误解

• “肘部角度是从地面测量的。” 在这种约定中，它是相对于第一个连杆的，因此第二个连杆的方向是两个角度之和。
• “关节角度越大，伸展范围就越大。” 伸展范围取决于手臂有多直，而不是它转了多少。
• “如果点很近，就能到达。” 在最小伸展范围圆内是到不了的。
• “偏航角会改变高度。” 它不会；它只是让手臂绕垂直轴旋转。

如何在实验室中探索

机械臂实验室提供了偏航、肩部和肘部的滑块，并显示工具点在 3D 空间中移动。免费的第一个世界包含两个课程，它们按顺序与本指南相符：

1. 机器人的坐标系 设置坐标轴、角度约定和两个连杆长度，并让你找到手臂的最大伸展范围。
2. 旋转空间中的平面 展示基座关节改变和不改变什么。

之后，尝试手动击中目标，并注意另一种手臂姿态也经常有效。实验室中后续的世界将此扩展到直接求解目标位置。

实验室是一个简化的教学模型：完全刚性的连杆，没有电机限制，没有重力下垂。真实机器人会加上所有这些，但在这里学到的几何学是核心。