Cinemática de brazo robótico: de los ángulos de las articulaciones a la posición

Articulaciones, eslabones y el punto de la herramienta

Si desmontas un brazo robótico, encuentras dos tipos de piezas:

• Articulaciones, que giran (o a veces se deslizan) y son accionadas por motores.
• Eslabones, los segmentos rígidos entre articulaciones, que nunca cambian de longitud.

En el extremo libre está el punto de la herramienta, el lugar donde iría una pinza, un bolígrafo o una cabeza de soldadura. La pregunta que responde la cinemática directa es simple: dados todos los ángulos de las articulaciones, ¿dónde está el punto de la herramienta?

La pregunta inversa, encontrar los ángulos de las articulaciones que alcanzan un punto elegido, se llama cinemática inversa. Es más difícil y volvemos a ella cerca del final. Empieza por la dirección directa, porque es geometría pura con una única respuesta cada vez.

Un brazo plano de dos eslabones con un poco de trigonometría

Mira primero dos eslabones que se mueven en un solo plano plano. Llama a las longitudes de los eslabones L1 y L2. El ángulo del hombro θ1 se mide desde la horizontal, y el ángulo del codo θ2 se mide respecto al primer eslabón, no respecto al suelo.

La posición de la herramienta se obtiene sumando dos vectores, uno por eslabón:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

El primer término de cada línea es dónde está el codo. El segundo término es el desplazamiento adicional desde el codo hasta la herramienta. Observa que el segundo eslabón apunta en la dirección θ1 + θ2, porque el ángulo del codo se mide desde el primer eslabón. Olvidar esa suma es el error más común.

Como cada eslabón es rígido, nada más importa. Si das los mismos ángulos dos veces, siempre obtienes el mismo punto.

Guiñada: girar todo el plano

Los brazos reales no están confinados a un plano. Una articulación base, llamada guiñada, hace girar todo el brazo alrededor del eje vertical. Piensa en una lámpara de escritorio que gira sobre su base.

La guiñada deja intactas dos cosas: la longitud de cada eslabón y la altura de la herramienta sobre la base. Lo único que hace es hacer girar el plano de trabajo, de modo que el alcance horizontal apunta en una nueva dirección. Si el brazo plano alcanza una distancia r desde la base, entonces una guiñada de ψ coloca la herramienta en

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

mientras la altura permanece igual. Esto divide un problema tridimensional en un problema de un brazo bidimensional más una rotación, por lo que muchos brazos industriales se construyen de esta manera.

¿Hasta dónde puede llegar el brazo?

El alcance del brazo está limitado por sus eslabones. El punto más lejano al que la herramienta puede llegar desde el hombro es cuando ambos eslabones se alinean en línea recta: L1 + L2. Para eslabones de 1,65 m y 1,25 m, eso es 2,90 m.

El punto más cercano es cuando el codo se dobla por completo hacia atrás: |L1 − L2|, aquí 0,40 m. En medio, la herramienta puede alcanzar una región en forma de anillo alrededor del hombro. Cualquier cosa fuera de ese anillo simplemente está fuera de alcance, por inteligente que sea el controlador.

Este espacio de trabajo es una de las primeras cosas que los ingenieros revisan al elegir un brazo. Un objetivo que parece cercano a la base podría seguir siendo inalcanzable si cae dentro del círculo interior.

Por qué un objetivo puede tener dos respuestas, o ninguna

Si haces el cálculo al revés, algo interesante sucede. Elige un punto alcanzable y normalmente hay dos formas de llegar a él: el codo puede doblarse en una dirección (a menudo llamado codo arriba) o en la otra (codo abajo). Ambas colocan la herramienta exactamente en el mismo lugar.

Hay tres casos:

• Dos soluciones, cuando el punto está estrictamente dentro del anillo alcanzable.
• Una solución, cuando está justo en el borde, con el brazo completamente estirado o completamente doblado.
• Ninguna solución, cuando está fuera del anillo.

Por eso la cinemática inversa es más complicada que la directa. La dirección directa siempre da una respuesta. La dirección inversa puede dar dos, una o ninguna, y el controlador tiene que elegir entre ellas de manera sensata, por ejemplo, evitando una colisión con la mesa.

Malentendidos comunes

• "El ángulo del codo se mide desde el suelo." En esta convención es relativo al primer eslabón, por lo que la dirección del segundo eslabón es la suma de ambos ángulos.
• "Ángulos de articulación más grandes siempre significan mayor alcance." El alcance depende de lo recto que esté el brazo, no de cuánto haya girado.
• "Si un punto está cerca, es alcanzable." Dentro del círculo de alcance mínimo, no lo es.
• "El yaw cambia la altura." No lo hace; solo rota el brazo alrededor del eje vertical.

Cómo explorar esto en el laboratorio

El laboratorio del brazo robótico te ofrece deslizadores para el giro (yaw), el hombro y el codo, y muestra el punto de la herramienta moviéndose en 3D. El primer mundo gratis tiene dos lecciones, y encajan con esta guía en este orden:

1. El sistema de coordenadas del robot establece los ejes, las convenciones de ángulos y las longitudes de los dos eslabones, y te permite encontrar el alcance máximo del brazo.
2. Girar un plano en el espacio muestra qué cambia y qué no cambia la articulación de la base.

Después de esas, intenta acertar a un objetivo a mano y observa con qué frecuencia también funciona una segunda postura del brazo. Los mundos posteriores del laboratorio extienden esto a la resolución directa de posiciones objetivo.

El laboratorio es un modelo educativo simplificado: eslabones perfectamente rígidos, sin límites de motor, sin caída por gravedad. Los robots reales añaden todo eso, pero la geometría que aprendes aquí es el núcleo.