Robotarmens kinematik: Från ledvinklar till position.

Ledar, länkar och verktygspunkten

Skalar du ner en robotarm hittar du två sorters delar:

• Leder, som roterar (eller ibland glider) och drivs av motorer.
• Länkar, de styva segmenten mellan lederna, som aldrig ändrar längd.

I den fria änden sitter verktygspunkten, platsen där en gripare, penna eller svetshuvud skulle sitta. Frågan som framåtriktad kinematik besvarar är enkel: var är verktygspunkten, om man känner till alla ledvinklar?

Den omvända frågan, att hitta ledvinklar som når en vald punkt, kallas invers kinematik. Den är svårare, och vi återkommer till den mot slutet. Börja med den framåtriktade riktningen, eftersom det är ren geometri med ett svar varje gång.

En plan, tvålänkad arm med lite trigonometri.

Titta först på två länkar som rör sig i ett enda plant plan. Kalla länklängderna L1 och L2. Axelvinkeln θ1 mäts från det horisontella, och armbågsvinkeln θ2 mäts relativt den första länken, inte i förhållande till marken.

Verktygspositionen följer av att addera två vektorer, en för varje länk:

x = L1 cos θ1 + L2 cos(θ1 + θ2)

y = L1 sin θ1 + L2 sin(θ1 + θ2)

Den första termen i varje linje visar var armbågen sitter. Den andra termen är den extra förskjutningen från armbågen till verktyget. Lägg märke till att den andra länken pekar i riktningen θ1 + θ2, eftersom armbågsvinkeln mäts från den första länken. Att glömma den additionen är det vanligaste misstaget.

Eftersom varje länk är stel spelar inget annat någon roll. Ange samma vinklar två gånger så får du alltid samma punkt.

Girning: att vrida hela planet.

Riktiga armar är inte begränsade till ett plan. En basled, som kallas girning, roterar hela armen runt den vertikala axeln. Tänk på en skrivbordslampa som svänger runt sin bas.

Girning ändrar inte två saker: längden på varje länk och verktygets höjd över basen. Det enda den gör är att rotera arbetsplanet, så att den horisontella räckvidden pekar i en ny riktning. Om den platta armen når ett avstånd r ut från basen placerar en girning på ψ verktyget vid

horizontal position = (r cos ψ, r sin ψ)

samtidigt som höjden förblir densamma. På så sätt delas ett tredimensionellt problem upp i ett tvådimensionellt armproblem plus en rotation, vilket är anledningen till att många industriarmar är byggda på det här sättet.

Hur långt kan armen nå?

Armarnas räckvidd begränsas av länkarna. Verktyget kan komma längst bort från axeln när båda länkarna ligger rakt i linje: L1 + L2. För länkar på 1,65 m och 1,25 m blir det 2,90 m.

Det närmaste verktyget kan komma är när armbågen viks hela vägen bakåt: |L1 − L2|, här 0,40 m. Däremellan kan verktyget nå ett ringformat område runt axeln. Allt utanför den ringen är helt enkelt utom räckhåll, hur smart styrningen än är.

Det här arbetsområdet är en av de första sakerna ingenjörer kontrollerar när de väljer en arm. Ett mål som ser nära basen ut kan ändå vara omöjligt att nå om det ligger innanför den inre cirkeln.

Varför ett mål kan ha två svar – eller inget alls

När man räknar baklänges händer något intressant. Välj en punkt som går att nå, så finns det vanligtvis två sätt att komma dit: armbågen kan böjas åt ena hållet (ofta kallat armbåge upp) eller åt det andra hållet (armbåge ner). Båda placerar verktyget exakt på samma ställe.

Det finns tre fall:

• Två lösningar, när punkten ligger helt innanför den nåbara ringen.
• En lösning, när den ligger precis på kanten, med armen helt utsträckt eller helt hopvikt.
• Ingen lösning, när den ligger utanför ringen.

Det är därför invers kinematik är knepigare än framåtriktad kinematik. Den framåtriktade riktningen ger alltid ett svar. Den omvända riktningen kan ge två, ett eller inget svar, och styrningen måste välja mellan dem på ett klokt sätt, till exempel genom att undvika en kollision med bordet.

Vanliga missuppfattningar

• "Armbågens vinkel mäts från marken." I den här konventionen är den relativ till den första länken, så den andra länkens riktning är summan av båda vinklarna.
• "Större ledvinklar betyder alltid större räckvidd." Räckvidden beror på hur rak armen är, inte på hur mycket den har vridits.
• "Om en punkt är nära går den att nå." Inuti cirkeln för minsta räckvidd går den inte att nå.
• "Girning ändrar höjden." Det gör den inte; den roterar bara armen runt den vertikala axeln.

Så utforskar du detta i labbet

Robotarmslabbet ger dig reglage för girning, axel och armbåge och visar hur verktygspunkten rör sig i 3D. Den första kostnadsfria världen har två lektioner, och de passar till den här guiden i följande ordning:

1. Robotens koordinatsystem ställer in axlarna, vink konventionerna och de två länklängderna och låter dig hitta armens maximala räckvidd.
2. Vrid ett plan genom rymden visar vad basleden ändrar och inte ändrar.

Efter det kan du försöka träffa ett mål för hand och lägga märke till hur ofta även en annan armposition fungerar. Senare världar i labbet bygger vidare på detta genom att lösa målpositioner direkt.

Labbet är en förenklad undervisningsmodell: helt stela länkar, inga motorgränser och ingen nedböjning på grund av gravitation. Riktiga robotar har allt detta, men geometrin du lär dig här är kärnan.