Das Pendelgesetz

Ein Pendel ist einfach ein Pendelgewicht (der Pendelkörper), das an einem Stab oder einer Schnur der Länge L hängt. Bei kleinen Ausschlägen hängt seine Periode nur von zwei Dingen ab:

T = 2π √(L / g)

Hier ist L die Länge vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt des Pendelkörpers in Metern, und g ist die Festigkeit der Schwerkraft, etwa 9,81 m/s² an der Erdoberfläche. (Dieses Gesetz folgt direkt aus der harmonischen Schwingung, die das Labor „Kräfte & Bewegung“ herleitet; hier wenden wir es einfach an.)

Lies die Formel langsam, denn darin stecken drei Überraschungen:

• Die Masse fehlt. Ein schwerer und ein leichter Pendelkörper gleicher Länge schwingen mit derselben Periode. Die Schwerkraft zieht stärker am schweren Pendelkörper, aber er hat auch mehr Masse, die bewegt werden muss, und beide Effekte heben sich genau auf.
• L steht unter einer Quadratwurzel. Mach das Pendel 4-mal länger, wird T nur 2-mal länger (√4 = 2). Um die Periode zu verdoppeln, brauchst du die 4-fache Länge.
• g ist wichtig. Schwächere Schwerkraft bedeutet eine langsamere Schwingung.

Das Sekundenpendel. Welche Länge ergibt T = 2 s? Stelle das Gesetz um: L = g T² / (4π²). Mit g = 9,81 m/s² und T = 2 s:

L = 9,81 × 4 / (4 × 9,87) ≈ 0,994 m

Das ist sehr nah an einem Meter – kein Zufall in der Geschichte der Maßeinheiten: In den 1600er-Jahren schlug man vor, den Meter als die Länge eines Sekundenpendels zu definieren. Die Schwerkraft ist von Ort zu Ort unterschiedlich, deshalb wurde diese Idee verworfen. Aber der lange, schmale Pendelkasten einer Standuhr ist aus diesem Grund immer noch ungefähr so hoch.

Dasselbe Gesetz zeigt dir, was auf anderen Himmelskörpern passiert. Nehmen wir ein 1 m langes Pendel:

Auf dem Mond schwingt das Pendel mehr als doppelt so langsam – ganz einfach, weil die Schwerkraft dort ungefähr ein Sechstel der Schwerkraft der Erde beträgt. Eine Pendeluhr, die man zum Mond mitnehmen würde, würde mehr als die Hälfte ihrer Zeit verlieren.

Ein wenig Geschichte. Galileo untersuchte in den späten 1500er- und frühen 1600er-Jahren schwingende Lampen und Pendel. Dabei bemerkte er, dass die Periode kaum davon abhängt, wie weit das Pendel ausschwingt (oft wird die Geschichte von einer schwingenden Kathedralenlampe erzählt, aber der Beleg für genau diese Geschichte ist dünn – betrachte sie also als Legende). Er verstand, dass ein Pendel die Zeit zählen konnte, stellte aber nie eine funktionierende Uhr fertig. Das gelang dem niederländischen Wissenschaftler Christiaan Huygens: Seine Pendeluhr von 1656 bis 1657 war die erste genaue Pendeluhr. Während die besten früheren Uhren pro Tag um viele Minuten falsch gehen konnten, zeigten Huygens’ erste Uhren die Zeit bis auf etwa eine Minute pro Tag genau an. Verbesserte Versionen erreichten bald ungefähr zehn Sekunden pro Tag. Dieser Sprung von Minuten zu Sekunden veränderte die Astronomie, die Navigation und die Wissenschaft.

Das Gesetz hat außerdem eine praktische Anwendung, die Uhrmacher lieben: Es lässt sich leicht einstellen. Wenn eine Pendeluhr nachgeht, ist das Pendel ein wenig zu lang. Ein Uhrmacher korrigiert das, indem er das Pendelgewicht etwas anhebt. Dadurch wird das Pendel kürzer und die Uhr läuft schneller. Weil T von der Quadratwurzel von L abhängt, sind selbst winzige Änderungen wichtig: Eine Änderung der Länge um 1% verändert den Gang um etwa ein halbes Prozent – das entspricht ungefähr 7 Minuten pro Tag.