กฎของลูกตุ้ม

ลูกตุ้มก็คือมวลที่มีน้ำหนัก (เรียกว่า ตุ้มลูกตุ้ม) ห้อยอยู่กับแท่งหรือเชือกที่มีความยาว L สำหรับการแกว่งเล็ก ๆ คาบของมันขึ้นอยู่กับเพียงสองสิ่ง:

T = 2π √(L / g)

L คือความยาวจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางของตุ้มลูกตุ้ม มีหน่วยเป็นเมตร และ g คือความแข็งแรงของแรงโน้มถ่วง ซึ่งมีค่าประมาณ 9.81 m/s² ที่พื้นผิวโลก (กฎนี้มาจากการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายโดยตรง ซึ่งแล็บแรงและการเคลื่อนที่อธิบายไว้ ในที่นี้เราเพียงนำมาใช้)

อ่านสูตรช้า ๆ เพราะในสูตรนี้มีเรื่องน่าประหลาดใจซ่อนอยู่สามอย่าง:

• ไม่มีมวลอยู่ในสูตร ตุ้มลูกตุ้มที่หนักและเบาซึ่งมีความยาวเท่ากันจะแกว่งด้วยคาบเท่ากัน แรงโน้มถ่วงดึงตุ้มที่หนักแรงกว่า แต่ตุ้มที่หนักก็มีมวลให้เคลื่อนที่มากกว่าเช่นกัน ผลทั้งสองจึงหักล้างกันพอดี
• L อยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สอง ทำให้ลูกตุ้มยาวขึ้น 4 เท่า แต่ T จะยาวขึ้นเพียง 2 เท่า (√4 = 2) หากต้องการเพิ่มคาบเป็น 2 เท่า คุณต้องเพิ่มความยาวเป็น 4 เท่า
• g มีความสำคัญ แรงโน้มถ่วงที่อ่อนลงหมายถึงการแกว่งที่ช้าลง

ลูกตุ้มวินาที ความยาวเท่าไรจึงจะทำให้ T = 2 s? จัดรูปกฎใหม่: L = g T² / (4π²) เมื่อ g = 9.81 m/s² และ T = 2 s:

L = 9.81 × 4 / (4 × 9.87) ≈ 0.994 m

ค่านี้ใกล้เคียงกับหนึ่งเมตรมาก ซึ่งไม่ใช่เรื่องบังเอิญในประวัติศาสตร์ของหน่วยวัด ในคริสต์ศตวรรษที่ 17 ผู้คนเคยเสนอให้กำหนดเมตรเป็นความยาวของลูกตุ้มวินาที แรงโน้มถ่วงแตกต่างกันไปในแต่ละสถานที่ แนวคิดนี้จึงถูกยกเลิก แต่ตู้ลูกตุ้มทรงสูงเรียวยาวของนาฬิกาคุณปู่ก็ยังสูงประมาณนี้ด้วยเหตุผลดังกล่าว

กฎเดียวกันนี้ยังบอกได้ว่าเกิดอะไรขึ้นบนโลกอื่น ลองใช้ลูกตุ้มยาว 1 m:

บนดวงจันทร์ ลูกตุ้มจะแกว่งช้ากว่าบนโลกมากกว่าสองเท่า เพียงเพราะแรงโน้มถ่วงที่นั่นมีค่าประมาณหนึ่งในหกของโลก หากนำาฬิกาลูกตุ้มไปไว้บนดวงจันทร์ นาฬิกาจะเดินช้ากว่าเวลาจริงมากกว่าครึ่งหนึ่ง

ประวัติเล็กน้อย กาลิเลโอศึกษาโคมไฟที่แกว่งและลูกตุ้มในช่วงปลายทศวรรษ 1500 ถึงต้นทศวรรษ 1600 และสังเกตเห็นว่าคาบแทบไม่ขึ้นกับความกว้างของการแกว่ง (มักมีการเล่าเรื่องโคมไฟในโบสถ์ที่แกว่งไปมา แต่หลักฐานของเรื่องนี้ในรายละเอียดดังกล่าวมีน้อย จึงควรมองว่าเป็นเพียงตำนาน) เขาเข้าใจว่าลูกตุ้มสามารถใช้จับเวลาได้ แต่ไม่เคยสร้างนาฬิกาที่ใช้งานได้สำเร็จ นักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ Christiaan Huygens เป็นผู้ทำได้ นาฬิกาลูกตุ้มของเขาในปี 1656 ถึง 1657 เป็นเรือนแรกที่มีความเที่ยงตรงสูง ขณะที่นาฬิการุ่นก่อนหน้าที่ดีที่สุดอาจคลาดเคลื่อนได้หลาย минутต่วัน นาฬิกาเรือนแรกของ Huygens กลับรักษาเวลาได้คลาดเคลื่อนไม่เกินประมาณหนึ่งนาทีต่อวัน และรุ่นที่พัฒนาขึ้นในไม่ช้าก็คลาดเคลื่อนเพียงประมาณสิบวินาทีต่อวัน การก้าวกระโดดจากระดับนาทีมาเป็นระดับวินาทีนี้เปลี่ยนแปลงดาราศาสตร์ การเดินเรือ และวิทยาศาสตร์

กฎนี้ยังมีประโยชน์ในทางปฏิบัติที่ช่างทำนาฬิกาชื่นชอบ นั่นคือ ปรับได้ง่าย หากนาฬิกาลูกตุ้มเดินช้า แสดงว่าลูกตุ้มยาวเกินไปเล็กน้อย ช่างทำนาฬิกาจะแก้ไขโดยยกตุ้มน้ำหนักขึ้นเล็กน้อย ทำให้ลูกตุ้มสั้นลงและนาฬิกาเดินเร็วขึ้น เพราะ T ขึ้นกับรากที่สองของ L แม้การเปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อยก็มีผล: ความยาวที่เปลี่ยนไป 1% จะทำให้อัตราการเดินเปลี่ยนไปประมาณครึ่งเปอร์เซ็นต์ หรือประมาณ 7 นาทีต่อวัน