La legge del pendolo

Un pendolo è semplicemente un peso (la massa oscillante) appeso a un'asta o a un filo di lunghezza L. Per piccole oscillazioni, il suo periodo dipende solo da due cose:

T = 2π √(L / g)

Qui L è la lunghezza dal punto di sospensione al centro della massa oscillante, espressa in metri, e g è la forza di gravità, circa 9,81 m/s² sulla superficie terrestre. (Questa legge deriva direttamente dal moto armonico semplice, che viene spiegato nel laboratorio Forze e movimento; qui ci limitiamo a usarla.)

Leggi lentamente la formula, perché contiene tre sorprese:

• La massa non compare. Una massa oscillante pesante e una leggera della stessa lunghezza oscillano con lo stesso periodo. La gravità tira più forte la massa pesante, ma questa ha anche più massa da muovere, e i due effetti si annullano esattamente.
• L è sotto una radice quadrata. Rendi il pendolo 4 volte più lungo e T diventa solo 2 volte più lungo (√4 = 2). Per raddoppiare il periodo servono 4 volte la lunghezza.
• g è importante. Una gravità più debole significa un'oscillazione più lenta.

Il pendolo dei secondi. Quale lunghezza dà T = 2 s? Riscrivi la legge: L = g T² / (4π²). Con g = 9,81 m/s² e T = 2 s:

L = 9,81 × 4 / (4 × 9,87) ≈ 0,994 m

È molto vicino a un metro, e non è una coincidenza nella storia delle unità di misura: negli anni 1600 si propose di definire il metro come la lunghezza del pendolo dei secondi. La gravità varia da un luogo all'altro e l'idea fu abbandonata, ma per questo motivo la cassa alta e sottile del pendolo di un orologio a pendolo è ancora alta circa così.

La stessa legge ti dice che cosa succede su altri mondi. Prendi un pendolo di 1 m:

Sulla Luna il pendolo oscilla più del doppio più lentamente, semplicemente perché lì la gravità è circa un sesto di quella terrestre. Un orologio a pendolo portato sulla Luna perderebbe ben più della metà del tempo.

Un po' di storia. Galileo studiò lampade oscillanti e pendoli tra la fine del 1500 e l'inizio del 1600 e notò che il periodo dipende a malapena dall'ampiezza dell'oscillazione (si racconta spesso la storia di una lampada oscillante in una cattedrale, ma l'evidenza a sostegno di questo episodio preciso è scarsa, quindi consideralo una leggenda). Capì che un pendolo poteva misurare il tempo, ma non completò mai un orologio funzionante. Ci riuscì lo scienziato olandese Christiaan Huygens: il suo orologio a pendolo del 1656-1657 fu il primo accurato. Mentre i migliori orologi precedenti potevano avere uno scarto di molti minuti al giorno, i primi orologi di Huygens segnavano l'ora con uno scarto di circa un minuto al giorno, e le versioni migliorate arrivarono presto a circa dieci secondi al giorno. Questo salto, dai minuti ai secondi, cambiò l'astronomia, la navigazione e la scienza.

C'è anche un uso pratico della legge che gli orologiai apprezzano molto: è facile da regolare. Se un orologio a pendolo va indietro, il pendolo è un po' troppo lungo. L'orologiaio lo corregge sollevando leggermente il peso, accorciando così il pendolo e facendo andare più veloce l'orologio. Poiché T dipende dalla radice quadrata di L, anche cambiamenti piccolissimi sono importanti: una variazione dell'1% nella lunghezza cambia la velocità di circa mezzo percento, cioè circa 7 minuti al giorno.