Prawo wahadła

Wahadło to po prostu ciężarek (wahadło bob) zawieszony na pręcie lub sznurku o długości L. Przy małych wychyleniach jego okres zależy tylko od dwóch rzeczy:

T = 2π √(L / g)

L to długość od punktu zawieszenia do środka ciężarka, podana w metrach, a g to wytrzymałość grawitacji, wynosząca około 9,81 m/s² na powierzchni Ziemi. (To prawo wynika wprost z prostego ruchu harmonicznego, który wyprowadza laboratorium Siły i ruch; tutaj po prostu z niego korzystamy.)

Czytaj wzór powoli, bo kryją się w nim trzy niespodzianki:

• Brakuje masy. Ciężki i lekki ciężarek o tej samej długości wahają się z takim samym okresem. Grawitacja mocniej przyciąga ciężki ciężarek, ale ma on też większą masę do poruszenia, więc oba efekty dokładnie się równoważą.
• L znajduje się pod pierwiastkiem kwadratowym. Wydłuż wahadło 4 razy, a T zwiększy się tylko 2 razy (√4 = 2). Aby podwoić okres, potrzebujesz 4 razy większej długości.
• g ma znaczenie. Słabsza grawitacja oznacza wolniejsze wahnięcia.

Wahadło sekundowe. Jaka długość daje T = 2 s? Przekształć wzór: L = g T² / (4π²). Dla g = 9,81 m/s² i T = 2 s:

L = 9,81 × 4 / (4 × 9,87) ≈ 0,994 m

To bardzo blisko metra — i nie jest to przypadek w historii jednostek: w latach 1600. proponowano zdefiniowanie metra jako długości wahadła sekundowego. Grawitacja różni się w zależności od miejsca, więc zrezygnowano z tego pomysłu, ale długa, smukła obudowa wahadła w zegarze stojącym nadal ma z tego powodu mniej więcej taką wysokość.

To samo prawo mówi, co dzieje się na innych światach. Weźmy wahadło o długości 1 m:

Na Księżycu wahadło porusza się ponad dwa razy wolniej, ponieważ grawitacja jest tam około sześć razy słabsza niż na Ziemi. Zegar wahadłowy zabrany na Księżyc późniłby się o ponad połowę.

Odrobina historii. Galileo badał kołyszące się lampy i wahadła pod koniec lat 1500. i na początku lat 1600. Zauważył, że okres drgań prawie nie zależy od szerokości wychylenia (często opowiada się historię o kołyszącej się lampie katedralnej, ale dowód na to, że dokładnie tak było, jest słaby, więc traktuj tę opowieść jak legendę). Zrozumiał, że wahadło może odmierzać czas, ale nigdy nie dokończył działającego zegara. Udało się to holenderskiemu naukowcowi Christiaanowi Huygensowi: jego zegar wahadłowy z lat 1656–1657 był pierwszym dokładnym zegarem tego typu. Wcześniejsze najlepsze zegary mogły spieszyć się lub spóźniać o wiele minut dziennie, podczas gdy pierwsze zegary Huygensa odmierzały czas z dokładnością do około minuty dziennie, a udoskonalone wersje wkrótce osiągnęły dokładność około dziesięciu sekund dziennie. To przejście od minut do sekund zmieniło astronomię, nawigację i naukę.

Istnieje też praktyczne zastosowanie tego prawa, które zegarmistrzowie uwielbiają: łatwo je wyregulować. Jeśli zegar wahadłowy się spóźnia, wahadło jest odrobinę za długie. Zegarmistrz naprawia to, lekko podnosząc ciężarek, co je skraca i przyspiesza zegar. Ponieważ T zależy od pierwiastka kwadratowego z L, znaczenie mają nawet bardzo małe zmiany: zmiana długości o 1% zmienia tempo o około pół procenta, czyli o około 7 minut dziennie.