قانون البندول

البندول هو ببساطة وزن (هو الثقل) معلّق بقضيب أو خيط طوله L. عند التأرجحات الصغيرة، يعتمد دوره على شيئين فقط:

T = 2π √(L / g)

هنا، يمثّل L الطول من نقطة التعليق إلى مركز الثقل، ويُقاس بالمتر، وتمثّل g متانة الجاذبية، وتبلغ نحو 9.81 m/s² عند سطح الأرض. (يأتي هذا القانون مباشرةً من الحركة التوافقية البسيطة، التي يشتقها مختبر القوى والحركة؛ أما هنا فنحن نستخدمه فقط.)

اقرأ الصيغة ببطء، لأن فيها ثلاث مفاجآت:

• الكتلة غير موجودة. يتأرجح ثقل ثقيل وثقل خفيف لهما الطول نفسه بالدور نفسه. تسحب الجاذبية الثقل الثقيل بقوة أكبر، لكن كتلته الأكبر تحتاج أيضًا إلى قوة أكبر لتحريكها، فيلغي التأثيران أحدهما الآخر تمامًا.
• يقع L تحت جذر تربيعي. إذا جعلت البندول أطول 4 مرات، يصبح T أطول مرتين فقط (√4 = 2). وللحصول على ضعف الدور، تحتاج إلى طول يساوي 4 أضعاف الطول الأصلي.
• تؤثر g. تعني الجاذبية الأضعف تأرجحًا أبطأ.

بندول الثواني. ما الطول الذي يعطي T = 2 s؟ أعد ترتيب القانون: L = g T² / (4π²). عند g = 9.81 m/s² وT = 2 s:

L = 9.81 × 4 / (4 × 9.87) ≈ 0.994 m

هذا قريب جدًا من متر واحد، وليس ذلك مصادفة في تاريخ الوحدات: ففي القرن السابع عشر، اقترح الناس تعريف المتر بأنه طول بندول الثواني. تختلف الجاذبية من مكان إلى آخر، ولذلك تخلّوا عن هذه الفكرة، لكن صندوق بندول الساعة الطويل والنحيف، مثل ساعة الجد، لا يزال يبلغ ارتفاعه نحو هذا المقدار لهذا السبب.

يخبرك القانون نفسه بما يحدث في العوالم الأخرى. خذ بندولًا طوله 1 m:

على القمر، يتأرجح البندول ببطء يزيد على الضعف، وذلك ببساطة لأن الجاذبية هناك تساوي نحو سدس جاذبية الأرض. وستفقد ساعة بندول نُقلت إلى القمر أكثر بكثير من نصف وقتها.

قليل من التاريخ. درس غاليليو المصابيح المتأرجحة والبندولات في أواخر القرن 1500 وبدايات القرن 1600، ولاحظ أن الزمن الدوري يعتمد بالكاد على اتساع التأرجح (غالبًا ما تُروى قصة عن مصباح كاتدرائية متأرجح، لكن الدليل على صحة هذه القصة تحديدًا ضعيف، لذا تعامل معها على أنها أسطورة). فهم أن البندول يمكنه قياس الزمن، لكنه لم يُكمل ساعة تعمل. أما العالم الهولندي كريستيان هويغنز ففعل ذلك: إذ كانت ساعته البندولية، التي صنعها بين 1656 و1657، أول ساعة دقيقة. فبينما كانت أفضل الساعات السابقة قد تتقدم أو تتأخر عدة دقائق في اليوم، كانت ساعات هويغنز الأولى تحافظ على الوقت بفارق لا يتجاوز نحو دقيقة واحدة في اليوم، وسرعان ما وصلت النسخ المحسّنة إلى نحو عشر ثوانٍ في اليوم. هذا الانتقال من الدقائق إلى الثواني غيّر علم الفلك والملاحة والعلوم.

هناك أيضًا استخدام عملي للقانون يحبه صانعو الساعات: من السهل ضبطه. إذا كانت ساعة البندول تتأخر، فهذا يعني أن البندول أطول قليلًا مما ينبغي. ويصحح صانع الساعات ذلك برفع الثقل قليلًا، فيقصر طول البندول وتسرع الساعة. وبما أن T يعتمد على الجذر التربيعي لـ L، فإن التغييرات الصغيرة جدًا مهمة: إذ يغيّر التغيير بنسبة 1% في الطول سرعة الساعة بنحو نصف بالمئة، أي ما يقارب 7 دقائق في اليوم.