La loi du pendule

Un pendule est simplement un poids (le pendule) suspendu à une tige ou à une ficelle de longueur L. Pour de petites oscillations, sa période dépend seulement de deux choses :

T = 2π √(L / g)

Ici, L est la longueur entre le point de suspension et le centre du pendule, en mètres, et g est l'intensité de la gravité, d'environ 9,81 m/s² à la surface de la Terre. (Cette loi vient directement du mouvement harmonique simple, expliqué dans le laboratoire Forces et mouvement ; ici, nous l'utilisons simplement.)

Lis la formule attentivement, car elle cache trois surprises :

• La masse n'apparaît pas. Un pendule lourd et un pendule léger de même longueur oscillent avec la même période. La gravité attire davantage le pendule lourd, mais il a aussi plus de masse à déplacer, et les deux effets s'annulent exactement.
• L est sous une racine carrée. Si tu rends le pendule 4 fois plus long, T devient seulement 2 fois plus grand (√4 = 2). Pour doubler la période, il faut multiplier la longueur par 4.
• g est important. Une gravité plus faible signifie une oscillation plus lente.

Le pendule à secondes. Quelle longueur donne T = 2 s ? Réarrangeons la loi : L = g T² / (4π²). Avec g = 9,81 m/s² et T = 2 s :

L = 9,81 × 4 / (4 × 9,87) ≈ 0,994 m

C'est très proche d'un mètre, ce qui n'est pas une coïncidence dans l'histoire des unités : dans les années 1600, on a proposé de définir le mètre comme la longueur du pendule à secondes. La gravité varie d'un endroit à l'autre, et cette idée a été abandonnée, mais la longue et fine caisse du pendule d'une horloge de parquet mesure encore environ cette hauteur pour cette raison.

La même loi te montre ce qui se passe sur d'autres mondes. Prenons un pendule de 1 m :

Sur la Lune, le pendule oscille plus de deux fois moins vite, simplement parce que la gravité y est environ six fois plus faible que sur Terre. Une horloge à pendule emportée sur la Lune retarderait de bien plus de la moitié.

Un peu d'histoire. À la fin des années 1500 et au début des années 1600, Galilée a étudié des lampes oscillantes et des pendules. Il a remarqué que la période dépend à peine de l'amplitude de l'oscillation (on raconte souvent l'histoire d'une lampe oscillante dans une cathédrale, mais l'élément de preuve pour cette histoire précise est mince : considère-la donc comme une légende). Il a compris qu'un pendule pouvait mesurer le temps, mais il n'a jamais terminé une horloge fonctionnelle. Le scientifique néerlandais Christiaan Huygens, lui, y est parvenu : son horloge à pendule, fabriquée entre 1656 et 1657, a été la première horloge précise. Alors que les meilleures horloges précédentes pouvaient avoir plusieurs minutes d'écart par jour, les premières horloges de Huygens mesuraient le temps avec une précision d'environ une minute par jour, et des versions améliorées ont rapidement atteint environ dix secondes par jour. Ce progrès, des minutes aux secondes, a transformé l'astronomie, la navigation et les sciences.

Cette loi a aussi une utilité pratique que les horlogers apprécient : elle est facile à régler. Si une horloge à pendule retarde, c'est que le pendule est un peu trop long. Pour corriger cela, l'horloger relève légèrement la masse, ce qui raccourcit le pendule et accélère l'horloge. Comme T dépend de la racine carrée de L, même de très petits changements comptent : une variation de 1 % de la longueur modifie la cadence d'environ un demi-pour cent, soit environ 7 minutes par jour.