Menggabungkan gerakan

Lakukan satu gerakan simetri lalu gerakan lainnya, dan kamu akan mendapatkan gerakan ketiga. Inilah gagasan utama yang mengubah daftar gerakan menjadi teori yang elegan. Contoh yang paling penting adalah dua pencerminan yang dilakukan berturut-turut.

• Dua garis cermin yang berpotongan. Cerminkan suatu bentuk pada garis m₁, lalu cerminkan hasilnya pada garis m₂. Jika kedua garis bertemu di titik O dan sudut di antara keduanya adalah α, hasilnya adalah rotasi terhadap `O` sebesar `2α`. Misalnya, cermin yang membentuk sudut 30° satu sama lain menghasilkan rotasi sebesar 60°. Cermin yang membentuk sudut siku-siku (90°) menghasilkan rotasi sebesar 180°, yaitu setengah putaran.
• Dua garis cermin yang paralel. Jika jarak antar garis adalah d, hasilnya adalah translasi sebesar `2d` yang tegak lurus terhadap garis-garis tersebut. Cermin yang terpisah sejauh 3 cm akan memindahkan suatu bentuk sejauh 6 cm.

Mengapa sudut atau jaraknya menjadi dua kali lipat? Setelah dicerminkan sekali, bentuk tersebut berada di belakang cermin pertama sejauh jaraknya dari cermin saat berada di depannya. Ketika dicerminkan pada cermin kedua, bentuk itu kembali berpindah sejauh yang sama, mengikuti aturan yang sama. Kedua perpindahan itu jika dijumlahkan menjadi dua kali jarak antara kedua cermin.

Jika kamu ingin menghitungnya dengan angka, pencerminan pada garis yang melalui titik asal dengan sudut ψ diberikan oleh matriks [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Kalikan dua matriks tersebut dan kamu akan mendapatkan matriks rotasi untuk sudut 2(ψ₂ − ψ₁). Lab Vektor menjelaskan cara matriks bekerja pada bentuk.

Urutan gerakan bisa berpengaruh. Ambil sebuah segitiga sama sisi dengan posisi bernomor di setiap sudut: 1 di atas, 2 di kiri bawah, 3 di kanan bawah. Misalkan r adalah rotasi sebesar 120° yang memindahkan ubin di posisi 1 ke 2, ubin di posisi 2 ke 3, dan ubin di posisi 3 ke 1. Misalkan s adalah pencerminan pada sumbu vertikal yang melalui posisi 1: pencerminan ini menukar posisi 2 dan 3, sementara posisi 1 tetap.

• `r` lalu `s`: ubin di posisi 1 berpindah ke 2, lalu ke 3.
• `s` lalu `r`: ubin di posisi 1 tetap di 1, lalu berpindah ke 2.

Hasilnya berbeda, jadi r lalu s bukan gerakan yang sama dengan s lalu r. Melakukan gerakan dalam urutan yang berbeda dapat mengubah hasilnya. (Ada kasus khusus ketika urutan tidak berpengaruh: dua setengah putaran terhadap titik yang berbeda, atau dua pencerminan pada garis yang tegak lurus dan melalui titik yang sama, memberikan hasil yang sama dalam urutan apa pun. Namun, secara umum, urutan berpengaruh.)

Gagasan tentang grup. Simetri-simetri suatu bentuk membentuk sistem rapi yang disebut grup: (1) melakukan satu simetri lalu simetri lainnya kembali menghasilkan simetri (himpunan ini tertutup), (2) tidak melakukan apa pun merupakan sebuah simetri (yaitu identitas), dan (3) setiap simetri dapat dibatalkan oleh simetri lain (yaitu invers-nya). Segitiga sama sisi memiliki tepat 6 simetri: 3 rotasi (0°, 120°, 240°) dan 3 refleksi. Persegi memiliki 8. Segi-n beraturan memiliki 2n. Teori grup, yang lahir dari pertanyaan-pertanyaan seperti ini, adalah matematika tentang simetri.