Att kombinera rörelser

Gör du en symmetriförflyttning och sedan en till får du en tredje förflyttning. Det här är grundidén som förvandlar en lista med förflyttningar till en elegant teori. Det viktigaste exemplet är två reflektioner efter varandra.

• Två spegellinjer som korsar varandra. Spegla en form i linjen m₁ och spegla sedan resultatet i linjen m₂. Om linjerna möts i en punkt O och vinkeln mellan dem är α, blir resultatet en rotation runt `O` med `2α`. Till exempel ger speglar som bildar 30° med varandra en rotation på 60°. Speglar som står vinkelrätt mot varandra (90°) ger en rotation på 180°, en halvvändning.
• Två spegellinjer som är parallella. Om linjerna ligger på avståndet d från varandra blir resultatet en förflyttning på `2d` vinkelrätt mot linjerna. Speglar som ligger 3 cm från varandra flyttar en form 6 cm.

Varför blir det dubbla vinkeln eller dubbla avståndet? När du speglar en gång hamnar formen lika långt bakom den första spegeln som den var framför den. När du speglar i den andra spegeln hoppar formen igen enligt samma regel. De två hoppen tillsammans blir dubbelt så stora som avståndet mellan speglarna.

Om du vill räkna ut det här med tal ges en spegling i en linje genom origo med vinkeln ψ av matrisen [[cos 2ψ, sin 2ψ], [sin 2ψ, −cos 2ψ]]. Multiplicerar du två sådana matriser får du en rotationsmatris för vinkeln 2(ψ₂ − ψ₁). Vector Lab förklarar hur matriser påverkar former.

Ordningen på rörelserna kan spela roll. Ta en liksidig triangel med en numrerad position i varje hörn: 1 högst upp, 2 nere till vänster och 3 nere till höger. Låt r vara rotationen med 120° som flyttar brickan vid 1 till 2, brickan vid 2 till 3 och brickan vid 3 till 1. Låt s vara speglingen i den vertikala axeln genom position 1: den byter plats på positionerna 2 och 3 och låter 1 vara kvar.

• `r` och sedan `s`: brickan vid position 1 flyttas till 2 och sedan till 3.
• `s` och sedan `r`: brickan vid position 1 stannar vid 1 och flyttas sedan till 2.

Resultaten skiljer sig åt, så r och sedan s är inte samma rörelse som s och sedan r. Om du gör rörelserna i en annan ordning kan resultatet ändras. (Det finns specialfall där ordningen inte spelar någon roll: två halvvarv kring olika punkter, eller två speglingar i vinkelräta linjer genom samma punkt, ger samma resultat oavsett ordning. I allmänhet spelar ordningen roll.)

Idén med en grupp. Symmetrierna hos en form bildar ett ordnat system som kallas en grupp: (1) om du gör en symmetri och sedan en annan är resultatet också en symmetri (mängden är sluten), (2) att inte göra någonting är en symmetri ( identiteten), och (3) varje symmetri kan upphävas av en annan symmetri (dess invers). En liksidig triangel har exakt 6 symmetrier: 3 rotationer (0°, 120°, 240°) och 3 speglingar. En kvadrat har 8. En regelbunden n-hörning har 2n. Gruppteorin, som växte fram ur frågor som dessa, är symmetrins matematik.